Resuelve arcsen(x) + arcsen(2x) = π/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Establece primero el dominio. Los dos arcosenos deben estar definidos, así que $-1\le x\le1$ y $-1\le2x\le1$. La segunda condición es la más restrictiva y da

   $-\tfrac12\le x\le\tfrac12.$

   Cualquier candidato fuera de este intervalo queda descartado de entrada, dé lo que dé el álgebra.

2. 2

   Aísla un arcoseno y toma el seno en ambos miembros. Reordenando y aplicando $\sin$:

   $\arcsin(2x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)\;\Longrightarrow\;2x=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right)=\cos(\arcsin x).$

   La identidad de cofunción $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta$ es lo que vuelve manejable el miembro derecho.

3. 3

   Convierte $\cos(\arcsin x)$ en álgebra. Toma $\theta=\arcsin x$, de modo que $\sin\theta=x$ y $\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$, un intervalo en el que $\cos\theta\ge0$. Por eso se toma la raíz positiva:

   $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^{2}},$

   y la ecuación queda $2x=\sqrt{1-x^{2}}$.

4. 4

   Anota la condición de signo antes de elevar al cuadrado. Una raíz cuadrada nunca es negativa, así que $2x\ge0$, es decir, $x\ge0$. Registrarlo ahora es lo que impide que una raíz extraña sobreviva al paso de elevar al cuadrado. Elevando:

   $4x^{2}=1-x^{2}\;\Longrightarrow\;5x^{2}=1\;\Longrightarrow\;x=\pm\frac{1}{\sqrt5}.$

5. 5

   Selecciona y verifica la raíz. La condición $x\ge0$ elimina el valor negativo y deja

   $x=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\approx0.4472,$

   que además cae dentro del dominio $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$ ✓. Comprobando directamente: $\arcsin(0.4472)=0.46365$ y $\arcsin(0.8944)=1.10715$, y $0.46365+1.10715=1.57080=\tfrac{\pi}{2}$ ✓. La raíz rechazada $x=-\tfrac{1}{\sqrt5}$ da $-\tfrac{\pi}{2}$ en su lugar.