Verdadero o falso: cos(180 grados) = −1.

Step-by-step solution

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   Recordar qué mide el coseno en la circunferencia unitaria. Para un ángulo $\theta$ medido en sentido antihorario desde el semieje positivo $x$, el punto terminal sobre la circunferencia unitaria es $(\cos\theta,\sin\theta)$. Así que el coseno es simplemente la coordenada $x$ de ese punto, y no una razón para la que haga falta un triángulo.

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   Ubicar los $180^\circ$ en la circunferencia. Un giro de $180^\circ$ es media vuelta, que lleva $(1,0)$ al punto diametralmente opuesto $(-1,0).$ Es un ángulo cuadrantal, situado exactamente sobre el semieje negativo $x$ y no dentro de ningún cuadrante.

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   Leer las coordenadas. Como el punto terminal es $(-1,0)$, $\cos(180^\circ)=-1,\qquad \sin(180^\circ)=0.$ Ambos valores son exactos: no interviene ninguna aproximación decimal.

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   Contrastar con una identidad. La fórmula del ángulo doble da $\cos(180^\circ)=\cos(2\cdot 90^\circ)=1-2\sin^{2}(90^\circ)=1-2(1)^{2}=-1$, y la identidad del ángulo suplementario da $\cos(180^\circ)=-\cos(0^\circ)=-1$. Los dos caminos coinciden.

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   Concluir y señalar la trampa habitual. La afirmación es verdadera. El desliz típico es confundir $180^\circ$ con $\pi$ radianes usado como número crudo: una calculadora olvidada en modo radianes devuelve $\cos(180)=-0.5985$, porque está evaluando $180$ radianes, no $180$ grados. En radianes, la entrada correcta es $\pi$, y $\cos\pi=-1$.