Un sector circular tiene un ángulo central de 50 grados y radio 9 cm. Halla la longitud del arco s y el área A del sector, redondeadas a tres cifras decimales.

Step-by-step solution

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   Convierte primero el ángulo a radianes. Las fórmulas $s=r\theta$ y $A=\tfrac12 r^2\theta$ solo son válidas con $\theta$ en radianes, porque provienen de tomar la fracción $\theta/(2\pi)$ de la circunferencia completa. Multiplica por $\pi/180$:

   $\theta=50^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{18}\ \text{rad}$

   Usar directamente la medida en grados inflaría las dos respuestas por un factor de alrededor de $57$.

2. 2

   Escribe las dos fórmulas del sector. Para un ángulo central $\theta$ en radianes,

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   Son simplemente la fracción $\theta/(2\pi)$ de la longitud total de la circunferencia, $2\pi r$, y del área total, $\pi r^2$.

3. 3

   Calcula la longitud del arco.

   $s=r\theta=9\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{5\pi}{2}\approx 7.854\ \text{cm}$

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   Calcula el área del sector. Eleva primero el radio al cuadrado y toma después la mitad:

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(9)^2\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{81}{2}\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{45\pi}{4}\approx 35.343\ \text{cm}^2$

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   Da las dos respuestas redondeadas.

   $\boxed{s\approx 7.854\ \text{cm},\qquad A\approx 35.343\ \text{cm}^2}$

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   Comprueba con la relación A = ½rs. Al eliminar $\theta$ queda $A=\tfrac12 rs$, y $\tfrac12(9)\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=\tfrac{45\pi}{4}$, exactamente el área hallada arriba.