En el triángulo ABC se cumple (cos B + cos A cos C)/(sen B cos C) = a√3/b, con a = 3 y c = 2√3. Halla sen A.

Step-by-step solution

1. 1

   Reemplaza $\cos B$ usando la suma de ángulos del triángulo. En todo triángulo $A+B+C=\pi$, así que $B=\pi-(A+C)$ y

   $\cos B=\cos\!\left(\pi-(A+C)\right)=-\cos(A+C)=-\left(\cos A\cos C-\sin A\sin C\right).$

   Esta sustitución es el primer movimiento habitual siempre que una identidad de triángulo mezcla los tres ángulos.

2. 2

   Reduce el numerador. Al sumar $\cos A\cos C$, los dos términos $\cos A\cos C$ se cancelan:

   $\cos B+\cos A\cos C=-\cos A\cos C+\sin A\sin C+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   Así, el lado izquierdo queda

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}=\frac{\sin A}{\sin B}\cdot\tan C.$

3. 3

   Usa el teorema del seno para igualar el lado derecho. Como $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$, se tiene $\dfrac{\sin A}{\sin B}=\dfrac{a}{b}$, de modo que la condición se lee

   $\frac{a}{b}\tan C=\frac{a\sqrt3}{b}.$

   Las longitudes de los lados son positivas, así que el factor $\dfrac{a}{b}$ se cancela y

   $\tan C=\sqrt3\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3}=60^{\circ},$

   la única solución con $0<C<\pi$ y $\cos C\ne 0$. Fíjate en que la identidad dada determina $C$ por sí sola: los datos de los lados no hicieron falta en esta parte.

4. 4

   Aplica el teorema del seno con el par conocido $(c,C)$.

   $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\ \Longrightarrow\ \sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

5. 5

   Comprueba que el triángulo realmente existe y es único. Como $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$, el ángulo $A$ es menor que $C=60^{\circ}$, así que $A=\arcsin\tfrac34\approx 48.59^{\circ}$ y la alternativa obtusa $131.41^{\circ}$ es imposible (no dejaría espacio para $C$). Entonces $B\approx 71.41^{\circ}$ y $b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}\approx 3.7913=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}$; al sustituir estos valores en la expresión original se obtiene $1.37055$ en ambos lados.