Resuelve la ecuación 3 tan x + √3 = 0 y da la solución general, con k entero.

Step-by-step solution

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   Despeja la tangente. Pasa la constante al otro miembro y divide entre $3$:

   $\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

   Ayuda racionalizarlo hasta una forma familiar: $\dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$, así que $\tan x = -\dfrac{1}{\sqrt3}$.

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   Halla el ángulo de referencia. $\tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$, según el triángulo de $30^{\circ}$–$60^{\circ}$–$90^{\circ}$ de lados $1$, $\sqrt3$, $2$. Así que el ángulo de referencia es $\dfrac{\pi}{6}$, es decir, $30^{\circ}$, y no $\dfrac{\pi}{3}$, que es donde $\tan = \sqrt3$.

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   Usa el signo para situar el ángulo. La tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Como $\tan$ es una función impar, la solución principal es sencillamente el opuesto del ángulo de referencia:

   $x = -\frac{\pi}{6}$

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   Suma el periodo una vez, no dos. La tangente tiene periodo $\pi$, no $2\pi$, y una sola familia recoge todas las soluciones:

   $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   Escribir $-\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ perdería la mitad de las soluciones; escribir $\tfrac{\pi}{6} + \pi k$ daría $\tan x = +\tfrac{1}{\sqrt3}$, con el signo cambiado.

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   Verifica. Para $k=0$: $\tan\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{\sqrt3}{3}$, y $3\left(-\tfrac{\sqrt3}{3}\right) + \sqrt3 = -\sqrt3 + \sqrt3 = 0$ ✓. Para $k=1$: $x = \tfrac{5\pi}{6}$, y $\tan\tfrac{5\pi}{6} = -\tfrac{\sqrt3}{3}$ ✓, una solución del segundo cuadrante, tal como se esperaba.