Resuelve la ecuación trigonométrica sen x - 2 cos 2x = 1 y da la solución general.

Step-by-step solution

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   Reescribe todo en términos de una sola función trigonométrica. La ecuación mezcla el ángulo $x$ con el ángulo $2x$, y así no se puede resolver directamente. De las tres formas de la identidad del ángulo doble, elige la que está escrita sólo con senos, ya que el otro término es $\sin x$:

   $\cos 2x=1-2\sin^{2}x.$

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   Sustituye y agrupa.

   $\sin x-2\left(1-2\sin^{2}x\right)=1\ \Longrightarrow\ \sin x-2+4\sin^{2}x=1,$

   $4\sin^{2}x+\sin x-3=0.$

   La ecuación es ahora una cuadrática en una sola cantidad.

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   Resuelve la cuadrática. Haz $t=\sin x$, de modo que $4t^{2}+t-3=0$. El discriminante es $D=1^{2}-4(4)(-3)=49$, un cuadrado perfecto, así que

   $t=\frac{-1\pm 7}{8}\ \Longrightarrow\ t_{1}=\frac{3}{4},\qquad t_{2}=-1.$

   Ambos valores están en $[-1,1]$, así que no hay que descartar ninguno. Conviene comprobarlo siempre, porque una raíz fuera de $[-1,1]$ sería una solución imposible.

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   Resuelve $\sin x=\tfrac34$. Este valor no corresponde a un ángulo notable, así que la respuesta se deja en términos de $\arcsin$. El seno toma el valor $\tfrac34$ una vez en el primer cuadrante y otra en el segundo:

   $x=\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n\quad\text{o}\quad x=\pi-\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},$

   lo que la fórmula compacta $x=(-1)^{n}\arcsin\frac{3}{4}+\pi n$ resume en una sola línea. Numéricamente $\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$ rad $\approx 48.59^{\circ}$.

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   Resuelve $\sin x=-1$. Aquí el seno alcanza su mínimo, algo que ocurre en un único punto por periodo, así que sólo hay una familia:

   $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\left(\text{equivalentemente }x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.$

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   Comprueba las dos familias en la ecuación original. En $x=\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$: $\sin x-2\cos 2x=0.75-2(-0.125)=1$. En $x=-\tfrac{\pi}{2}$: $-1-2\cos(-\pi)=-1+2=1$. Ambas satisfacen la ecuación, así que el conjunto solución es la unión de las dos familias.