Demostrar la identidad 1/cot²A + 1/(1 + tan²A) = 1/(1 − sin²A) − 1/csc²A.

Step-by-step solution

1. 1

   Elegir la estrategia: reducir cada miembro por separado a senos y cosenos. Ninguno de los dos miembros es claramente más simple que el otro, así que en lugar de transformar uno en el otro conviene simplificar cada uno de forma independiente y mostrar que los dos resultados coinciden. Cada pieza que aparece aquí es una identidad recíproca o una identidad pitagórica.

2. 2

   Simplificar el miembro izquierdo. Como $\cot A=1/\tan A$, el primer término es

   $\frac{1}{\cot^{2}A}=\tan^{2}A.$

   Para el segundo, la identidad pitagórica $1+\tan^{2}A=\sec^{2}A$ da

   $\frac{1}{1+\tan^{2}A}=\frac{1}{\sec^{2}A}=\cos^{2}A.$

   Así que el miembro izquierdo es $\tan^{2}A+\cos^{2}A$.

3. 3

   Simplificar el miembro derecho. De $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ se obtiene $1-\sin^{2}A=\cos^{2}A$, así que

   $\frac{1}{1-\sin^{2}A}=\frac{1}{\cos^{2}A}=\sec^{2}A,$

   y como $\csc A=1/\sin A$,

   $\frac{1}{\csc^{2}A}=\sin^{2}A.$

   Así que el miembro derecho es $\sec^{2}A-\sin^{2}A$.

4. 4

   Tender el puente entre las dos formas. Se aplica $\sec^{2}A=1+\tan^{2}A$ al miembro derecho:

   $\sec^{2}A-\sin^{2}A=1+\tan^{2}A-\sin^{2}A=\tan^{2}A+\bigl(1-\sin^{2}A\bigr)=\tan^{2}A+\cos^{2}A.$

   Esto coincide exactamente con el miembro izquierdo, así que la identidad se cumple.

5. 5

   Indicar dónde es válida y probar un valor. La identidad exige que $\cot A$, $\tan A$ y $\csc A$ estén definidas y que $\cot A\ne0$, es decir, que $A$ no sea múltiplo de $\pi/2$. En $A=\pi/3$: el miembro izquierdo es $\tan^{2}=3$ más $\cos^{2}=1/4$, o sea $3.25$; el miembro derecho es $\sec^{2}=4$ menos $\sin^{2}=3/4$, o sea $3.25$ ✓.