¿Qué ángulo tiene −0.8 como valor de su coseno? Halla todas las soluciones entre 0° y 360°.

Step-by-step solution

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   Decide dónde pueden estar las soluciones. El coseno es igual a la coordenada x sobre la circunferencia unitaria, así que un coseno negativo sitúa el ángulo a la izquierda del eje vertical: cuadrante II o cuadrante III. Espera exactamente dos soluciones en una vuelta completa.

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   Halla el ángulo de referencia a partir del valor absoluto. El ángulo de referencia usa $+0.8$, porque mide el ángulo agudo hasta la parte más cercana del eje horizontal:

   $\alpha = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^\circ$

   (Es el conocido ángulo del triángulo $3$–$4$–$5$, ya que $0.8 = 4/5$.)

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   Coloca el ángulo de referencia en el cuadrante II. En el cuadrante II el ángulo es $180^\circ$ menos el ángulo de referencia:

   $\theta_1 = 180^\circ - 36.87^\circ = 143.13^\circ$

   Es también lo que devuelve directamente la calculadora para $\cos^{-1}(-0.8)$, ya que el recorrido del arcocoseno es $[0^\circ, 180^\circ]$.

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   Colócalo en el cuadrante III. En el cuadrante III el ángulo es $180^\circ$ más el ángulo de referencia:

   $\theta_2 = 180^\circ + 36.87^\circ = 216.87^\circ$

   Equivalentemente, $\theta_2 = 360^\circ - \theta_1$, porque el coseno es una función par.

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   Convierte a radianes y comprueba. Multiplicando por $\pi/180$:

   $\theta_1 \approx 2.498 \text{ rad}, \qquad \theta_2 \approx 3.785 \text{ rad}$

   Evaluando de vuelta: $\cos(143.13^\circ) = -0.8000$ y $\cos(216.87^\circ) = -0.8000$, ambos correctos hasta la cuarta cifra decimal. Sumar cualquier múltiplo de $360^\circ$ da más soluciones.