Verdadero o falso: tan(π) = 0. Explica tu respuesta.

Step-by-step solution

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   Traduce el ángulo. Como $\pi$ radianes $=180^{\circ}$, la pregunta pide la tangente de media vuelta: el punto $(-1,0)$ de la circunferencia unitaria, sobre el semieje $x$ negativo.

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   Usa la identidad del cociente. Por definición,

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},$

   así que el valor de $\tan\pi$ queda decidido por completo por las coordenadas de ese punto: $\sin\pi$ es la coordenada $y$, mientras que $\cos\pi$ es la coordenada $x$.

3. 3

   Lee las dos coordenadas. En $\theta=\pi$,

   $\sin(\pi)=0,\qquad \cos(\pi)=-1.$

   El seno es cero porque el punto está exactamente sobre el eje horizontal; el coseno es $-1$ porque el punto está a una unidad a la izquierda del origen.

4. 4

   Divide y comprueba que el denominador no es cero. Sustituyendo,

   $\tan(\pi)=\frac{0}{-1}=0.$

   La afirmación es verdadera. El denominador negativo no vuelve negativa la respuesta: cero dividido entre cualquier número no nulo es cero, sin ningún signo asociado.

5. 5

   Contrasta con el caso en que la tangente falla. La tangente no está definida exactamente donde $\cos\theta=0$, es decir, en $\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$; allí el cociente sería un número no nulo dividido entre cero. Sus ceros están donde $\sin\theta=0$, o sea en $\theta=k\pi$, de manera que $\tan0=\tan\pi=\tan2\pi=0$, y $\tan$ tiene periodo $\pi$ y no $2\pi$.