Halla el valor exacto de arcsen(0.375), o explica por qué no existe, y da el valor decimal en radianes y en grados.

Step-by-step solution

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   Escribe el decimal como fracción. $0.375 = \tfrac{3}{8}$, así que el problema consiste en hallar $\theta$ tal que

   $\sin\theta = \frac{3}{8}, \qquad \theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2}\right]$

   Ese rango restringido es lo que convierte a $\arcsin$ en una función: de los infinitos ángulos con este seno, exactamente uno cae en ese intervalo.

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   Contrástalo con la lista de senos construibles. Los ángulos con seno en forma cerrada que se usan en el trabajo escolar son $0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}$, cuyos senos son $0,\ \tfrac12,\ \tfrac{\sqrt2}{2},\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ 1$. El valor $\tfrac38 = 0.375$ no es ninguno de ellos: está entre $0$ y $\tfrac12$, más cerca de $\tfrac12$.

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   Concluye qué significa aquí «valor exacto». Ninguna expresión con radicales de racionales es igual a este ángulo, así que el valor exacto es simplemente el propio símbolo:

   $\arcsin\!\left(\frac{3}{8}\right)$

   Esto no es un fracaso de la técnica: es el mismo sentido en el que $\ln 2$ o $\sqrt2$ ya son respuestas exactas.

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   Calcula el valor decimal. Usando la serie de Maclaurin $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$ con $u = 0.375$: $0.375 + 0.008789 + 0.000556 + 0.000047 + 0.000004 = 0.384396$, y los términos siguientes lo llevan a

   $\arcsin(0.375) \approx 0.3843968\ \text{rad}$

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   Convierte a grados y comprueba. Multiplicando por $\tfrac{180}{\pi}$:

   $0.3843968 \times 57.295780 \approx 22.0243^{\circ}$

   Comprobación de sensatez: $\sin(22.0243^{\circ}) = 0.375000$, y $22.0243^{\circ}$ está razonablemente un poco por debajo de $30^{\circ}$, donde el seno llega a $0.5$.