Resuelve cos(2x − π/3) + cos(x) = 1/2 para x en [0, 2π).

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla el ángulo compuesto. Usando $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ con $\cos\tfrac\pi3=\tfrac12$ y $\sin\tfrac\pi3=\tfrac{\sqrt3}{2}$: $\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x+\cos x = \frac12.$

2. 2

   Escríbelo todo en función de sen x y cos x. Con $\cos 2x = 2c^2-1$ y $\sin 2x = 2sc$ (escribiendo $c=\cos x$ y $s=\sin x$): $\frac{2c^2-1}{2}+\sqrt3\,sc+c = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad c^2+c-1 = -\sqrt3\,sc.$

3. 3

   Eleva al cuadrado para eliminar el seno, y ten presente el riesgo. Sustituyendo $s^2$ por $1-c^2$: $(c^2+c-1)^2 = 3c^2(1-c^2) \quad\Longrightarrow\quad 4c^4+2c^3-4c^2-2c+1 = 0.$ Elevar al cuadrado puede crear raíces que cumplen la cuártica pero no la ecuación original, así que hay que probar cada candidata al final.

4. 4

   Resuelve la cuártica numéricamente. En $[-1,1]$ la cuártica tiene exactamente dos raíces: $c \approx 0.3369592 \quad\text{y}\quad c \approx 0.8941126.$ Ninguna es un radical bonito, así que la respuesta será numérica.

5. 5

   Convierte cada valor del coseno en ángulos y filtra. Cada $c$ da dos ángulos en $[0,2\pi)$: para $c=0.3369592$, $x=1.227111$ o $5.056074$; para $c=0.8941126$, $x=0.464351$ o $5.818835$. Al sustituir en la ecuación original, solo $x=1.227111$ y $x=5.818835$ dan $\tfrac12$: las otras dos son las raíces extrañas que introdujo el elevar al cuadrado (cumplen la versión con el signo cambiado $c^2+c-1=+\sqrt3 sc$).

6. 6

   Verifica las supervivientes. Para $x=1.227111$: $\cos(1.407024)+\cos(1.227111) = 0.163041+0.336959 = 0.500000$. Para $x=5.818835$: $\cos(10.590472)+\cos(5.818835) = -0.394113+0.894113 = 0.500000$. Ambas son correctas con las cifras mostradas.