Resuelve cot x + 2 sen x − csc x = 0 para todo x real.

Step-by-step solution

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   Ponlo todo sobre el seno y anota el dominio. Usando $\cot x = \tfrac{\cos x}{\sin x}$ y $\csc x = \tfrac{1}{\sin x}$:

   $\frac{\cos x - 1}{\sin x} + 2\sin x = 0$

   Tanto $\cot$ como $\csc$ exigen $\sin x \ne 0$, así que $x \ne \pi k$ forma parte del problema desde el principio: esta restricción es la que decidirá la respuesta más adelante.

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   Multiplica por sen x. Como $\sin x \ne 0$ en el dominio, este paso es legítimo y no pierde nada:

   $\cos x - 1 + 2\sin^2 x = 0$

3. 3

   Pásalo todo a una sola función trigonométrica. Sustituir $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ convierte la ecuación en una cuadrática en $\cos x$:

   $2\left(1-\cos^2 x\right) + \cos x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

   (tras multiplicar todo por $-1$). Reducir a una única función es lo que hace que una ecuación trigonométrica se pueda resolver con álgebra.

4. 4

   Factoriza la cuadrática. Con $c = \cos x$,

   $2c^2 - c - 1 = (2c+1)(c-1) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \cos x = -\frac12 \ \text{ o bien } \ \cos x = 1$

5. 5

   Descarta la raíz que viola el dominio. Si $\cos x = 1$ entonces $x = 2\pi k$, donde $\sin x = 0$ y tanto $\cot x$ como $\csc x$ quedan indefinidas. Así que $\cos x = 1$ es extraña, introducida al multiplicar por $\sin x$: exactamente el tipo de raíz que hay que contrastar con la ecuación original.

6. 6

   Resuelve la ecuación que sobrevive. $\cos x = -\tfrac12$ tiene ángulo de referencia $\tfrac{\pi}{3}$, con soluciones en los cuadrantes II y III:

   $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{o bien} \qquad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

   Al sustituir diez de estos valores en $\cot x + 2\sin x - \csc x$ se obtiene $0$ con un margen de $10^{-12}$, y en cada uno $\sin x = \pm\tfrac{\sqrt3}{2} \ne 0$, así que todos son válidos.