Hallar y si y = arcsin(√3/2).

Step-by-step solution

1. 1

   Enunciar qué devuelve el seno inverso. $\sin^{-1}(a)$ es el único ángulo $y$ tal que

   $\sin y=a\qquad\text{y}\qquad -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}$

   Restringir el recorrido es precisamente lo que convierte a la inversa en una función; sin esa restricción habría infinitas respuestas.

2. 2

   Comprobar que el argumento está en el dominio. El dominio de $\sin^{-1}$ es $[-1,1]$, y $\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0.8660$ queda dentro, así que la respuesta existe.

3. 3

   Recordar el ángulo notable. Del triángulo de $30$-$60$-$90$ (o de la circunferencia unitaria),

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$

   Los tres valores que vale la pena memorizar son $\sin\frac\pi6=\frac12$, $\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}$: numeradores crecientes con el mismo denominador.

4. 4

   Confirmar que el candidato está en el recorrido principal. Como $0<\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}$, el ángulo $\tfrac\pi3$ es admisible, así que

   $y=\frac{\pi}{3}=60^{\circ}$

5. 5

   Señalar la respuesta que queda excluida a propósito. $\sin\dfrac{2\pi}{3}$ también vale $\dfrac{\sqrt3}{2}$, y lo mismo ocurre con $\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k\right)$ para todo entero $k$. Todos ellos resuelven la ecuación $\sin y=\frac{\sqrt3}{2}$, pero solo $\tfrac\pi3$ es el valor de $\sin^{-1}$. Confundir «resolver $\sin y=a$» con «calcular $\sin^{-1}a$» es el error habitual en este ejercicio.