Resolver 2sin(x) - 1 = 0 para todo x real.

Step-by-step solution

1. 1

   Aislar el seno. Se suma $1$ y se divide entre $2$:

   $2\sin x=1\qquad\Longrightarrow\qquad \sin x=\frac{1}{2}$

   Como $\tfrac12$ está en $[-1,1]$, existen soluciones.

2. 2

   Ubicar el ángulo del primer cuadrante. $\tfrac12$ es un valor notable: el triángulo de $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ da $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$, así que $x=\tfrac{\pi}{6}$ es una solución — sin necesidad de calculadora.

3. 3

   Hallar la segunda solución dentro de la misma vuelta. El seno es positivo tanto en el primer cuadrante como en el segundo, y $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$. Así que la reflexión

   $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

   también sirve. Perder esta rama es, con diferencia, el error más común en las ecuaciones con seno.

4. 4

   Extender por el periodo. $\sin$ se repite cada $2\pi$, así que toda solución es uno de los dos ángulos base desplazado un número entero de vueltas:

   $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{o}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

5. 5

   Ver por qué las dos familias no se funden. La distancia de $\tfrac{\pi}{6}$ a $\tfrac{5\pi}{6}$ es $\tfrac{2\pi}{3}$, que no es múltiplo de $2\pi$, así que ninguna familia contiene a la otra — las dos hacen genuina falta.

6. 6

   Verificar por sustitución. $2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓ y $2\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓. Probar $k=-2$ y $k=3$ en ambas familias también devuelve $0$ con la precisión de la máquina ✓.