Resuelve sen(x) · sen(x) = 1/2 y da la solución general.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe el producto como un cuadrado. El miembro izquierdo es $\sin x$ multiplicado por sí mismo, así que

   $\sin^{2}x=\frac12.$

   Escribirlo así importa porque deja a la vista el paso siguiente: extraer la raíz cuadrada, con dos signos.

2. 2

   Extrae la raíz cuadrada conservando ambos signos. De $\sin^{2}x=\tfrac12$,

   $\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt2}=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$

   Quedarse sin la rama negativa perdería la mitad de las soluciones. El ángulo de referencia de $\tfrac{\sqrt2}{2}$ es $\tfrac{\pi}{4}$ (es decir, $45^{\circ}$), así que todas las soluciones quedan a $45^{\circ}$ de un eje.

3. 3

   Escribe las cuatro familias, una por cuadrante. Para $\sin x=+\tfrac{\sqrt2}{2}$ las soluciones en $[0,2\pi)$ son $\tfrac{\pi}{4}$ y $\tfrac{3\pi}{4}$; para $\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ son $\tfrac{5\pi}{4}$ y $\tfrac{7\pi}{4}$. Sumando $2k\pi$ a cada una se obtiene

   $x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{5\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{7\pi}{4}+2k\pi.$

4. 4

   Funde las cuatro familias en una sola. Los cuatro ángulos base $\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}$ están igualmente espaciados, separados $\tfrac{\pi}{2}$ entre sí, así que todo el conjunto de soluciones se reduce a una única familia aritmética:

   $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}\quad(45^{\circ}+90^{\circ}k).$

   Esta forma compacta es más fácil de enunciar y mucho más cómoda de usar cuando la ecuación forma parte de un problema mayor.

5. 5

   Contrasta con una identidad de ángulo doble. Como $\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, la ecuación equivale a

   $\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac12\;\Longrightarrow\;\cos 2x=0\;\Longrightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\Longrightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.$

   La vía de la identidad llega directamente a la familia unificada y confirma la respuesta de forma independiente ✓.