Dado que cos x = √6 · sin²x, halla sin 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Observar la información sobre signos escondida en la hipótesis. El lado derecho $\sqrt6\sin^{2}x$ es un múltiplo no negativo de un cuadrado, así que de inmediato

   $\cos x\ge0.$

   Esta observación, hecha antes de cualquier manipulación algebraica, es la que después permitirá fijar el signo de $\cos x$ — la versión elevada al cuadrado de este problema la pierde.

2. 2

   Elevar al cuadrado ambos lados para obtener una ecuación de una sola variable. Al elevar al cuadrado queda $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$, y sustituyendo $u=\sin^{2}x$ con $\cos^{2}x=1-u$:

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0.$

   Elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas, así que la comprobación de signos del paso 1 habrá que aplicarla al final.

3. 3

   Elegir la raíz admisible. Las raíces son $u=\tfrac13$ y $u=-\tfrac12$; la segunda es imposible, ya que $u=\sin^{2}x\ge0$. Por lo tanto

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \sin x=\pm\frac{\sqrt3}{3}.$

4. 4

   Recuperar $\cos x$ a partir de la ecuación original, no de la elevada al cuadrado. Sustituyendo $\sin^{2}x=\tfrac13$ de vuelta en la relación dada:

   $\cos x=\sqrt6\cdot\frac13=\frac{\sqrt6}{3}\approx0.8165,$

   que es positivo, coherente con el paso 1 — así que no se ha colado ninguna solución extraña. Comprobación: $\sin^{2}x+\cos^{2}x=\tfrac13+\tfrac69=\tfrac13+\tfrac23=1$ ✓.

5. 5

   Aplicar la fórmula del ángulo doble. Con $\sin x=\pm\tfrac{\sqrt3}{3}$ y $\cos x=+\tfrac{\sqrt6}{3}$:

   $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\left(\pm\frac{\sqrt3}{3}\right)\frac{\sqrt6}{3}=\pm\frac{2\sqrt{18}}{9}=\pm\frac{6\sqrt2}{9}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   Ambos signos se mantienen porque $\cos x>0$ solo descarta dos de los cuatro cuadrantes; $x$ todavía puede estar en el primero o en el cuarto, lo que da $\sin 2x$ positivo o negativo, respectivamente.