Evalúa tan 315 grados de forma exacta.

Step-by-step solution

1. 1

   Ubica el ángulo y fija el signo. $315^\circ$ está entre $270^\circ$ y $360^\circ$, así que cae en el cuarto cuadrante, donde $x>0$ y $y<0$. Como $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}=\dfrac{y}{x}$ es un negativo sobre un positivo, $\tan315^\circ$ tiene que ser negativo.

2. 2

   Halla el ángulo de referencia. El eje horizontal más cercano es $360^\circ$:

   $360^\circ-315^\circ=45^\circ$

   así que el ángulo de referencia es $45^\circ$ y la magnitud coincide con la de $\tan45^\circ$.

3. 3

   Usa la identidad del cuarto cuadrante. Para un ángulo escrito como $360^\circ-\theta$,

   $\tan\!\left(360^\circ-\theta\right)=-\tan\theta$

   (equivalentemente $\tan(-\theta)=-\tan\theta$, ya que la tangente es una función impar de periodo $180^\circ$). Con $\theta=45^\circ$:

   $\tan315^\circ=-\tan45^\circ$

4. 4

   Sustituye el valor del ángulo notable. El triángulo de $45$–$45$–$90$ tiene los catetos iguales, así que $\tan45^\circ=1$ y

   $\tan315^\circ=-1$

5. 5

   Verifica a partir de las coordenadas. El punto de la circunferencia unitaria en $315^\circ$ es $\left(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$, así que

   $\tan315^\circ=\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=-1\ \checkmark$

   Numéricamente $-1$ con un error menor que $10^{-12}$ ✓. Observa que $315^\circ=\tfrac{7\pi}{4}$ radianes y que, como la tangente tiene periodo $180^\circ$, también $\tan315^\circ=\tan135^\circ=-1$.