Calcula tan(4.2π) y da un valor exacto.

Step-by-step solution

1. 1

   Usa el periodo de la tangente, que es $\pi$ y no $2\pi$. A diferencia del seno y del coseno, la tangente se repite cada media vuelta:

   $\tan(\theta+k\pi)=\tan\theta\quad\text{para cualquier entero }k$

   Usar $2\pi$ aquí también funcionaría, pero dejaría más por reducir.

2. 2

   Separa los múltiplos enteros de $\pi$. Escribe $4.2=4+0.2$:

   $\tan(4.2\pi)=\tan(4\pi+0.2\pi)=\tan(0.2\pi)$

   ya que $4\pi$ son cuatro periodos completos.

3. 3

   Convierte el ángulo restante a una forma familiar.

   $0.2\pi=\frac{\pi}{5}=36^\circ$

   así que el problema se reduce a hallar $\tan 36^\circ$.

4. 4

   Cita el valor exacto del ángulo del pentágono. El ángulo $36^\circ$ está ligado al pentágono regular y a la razón áurea, y su tangente tiene una forma radical cerrada:

   $\tan\frac{\pi}{5}=\sqrt{5-2\sqrt5}$

5. 5

   Verifica numéricamente. $\sqrt5\approx 2.236068$, así que $5-2\sqrt5\approx 0.527864$ y su raíz cuadrada es $\approx 0.726543$. Una evaluación directa da $\tan(4.2\pi)\approx 0.7265425$ $\checkmark$. El valor es positivo, coherente con que $\tfrac{\pi}{5}$ esté en el primer cuadrante.