En un triángulo, el lado de longitud 13 es opuesto a un ángulo de 32 grados, el lado de longitud 23 es opuesto al ángulo A y el lado x es opuesto al tercer ángulo. Suponiendo que A es agudo, hallar el ángulo A y la longitud de x.

Step-by-step solution

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   Emparejar cada lado con el ángulo que tiene enfrente. El teorema del seno relaciona un lado con su ángulo opuesto:

   $\frac{\sin A}{23}=\frac{\sin 32^\circ}{13}=\frac{\sin C}{x}.$

   Emparejar un lado con el ángulo equivocado es aquí el modo de falla principal: siempre hay que revisar «opuesto», no «adyacente».

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   Despejar sen A del primer par.

   $\sin A=\frac{23\sin 32^\circ}{13}=\frac{23(0.529919)}{13}=\frac{12.18814}{13}=0.937549.$

   Que el valor haya salido menor que $1$ ya es información: si hubiera superado $1$, no existiría tal triángulo.

3. 3

   Tomar el seno inverso y enfrentar la ambigüedad. La calculadora devuelve

   $A=\arcsin(0.937549)=69.64^\circ,$

   pero $\sin(180^\circ-69.64^\circ)=\sin(110.36^\circ)$ es el mismo valor, así que aritméticamente también es posible un triángulo obtuso. Este es el caso ambiguo LLA. El enunciado dice que un ángulo que se ve agudo puede suponerse agudo, así que se toma

   $A\approx 69.6^\circ.$

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   Hallar el tercer ángulo.

   $C=180^\circ-32^\circ-69.64^\circ=78.36^\circ.$

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   Usar de nuevo el teorema del seno para x.

   $x=\frac{13\sin C}{\sin 32^\circ}=\frac{13(0.979421)}{0.529919}=\frac{12.73247}{0.529919}=24.03.$

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   Revisar el orden de lados y ángulos. El mayor ángulo es $C=78.4^\circ$ y el mayor lado es $x=24.03$; el menor ángulo es $32^\circ$ y el menor lado es $13$. Lados y ángulos quedan en el mismo orden, como debe ser. (Para dejar constancia, la rama obtusa descartada habría dado $A=110.4^\circ$ y $x=14.98$.)