Un sector circular tiene ángulo central de 70 grados y radio 12 yd. Halla la longitud de arco s y el área A del sector, redondeadas a tres decimales.

Step-by-step solution

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   Convierte primero el ángulo a radianes. Las fórmulas $s=r\theta$ y $A=\tfrac12 r^2\theta$ solo valen con $\theta$ en radianes, porque provienen de tomar la fracción $\theta/(2\pi)$ de la circunferencia completa. Multiplica por $\pi/180$:

   $\theta=70^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{18}\ \text{rad}$

   Usar directamente la medida en grados inflaría las dos respuestas por un factor de aproximadamente $57$.

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   Escribe las dos fórmulas del sector. Para un ángulo central $\theta$ en radianes,

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   Son simplemente la fracción $\theta/(2\pi)$ de la longitud total de la circunferencia $2\pi r$ y del área total $\pi r^2$.

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   Calcula la longitud de arco.

   $s=r\theta=12\left(\frac{7\pi}{18}\right)=\frac{14\pi}{3}\approx 14.661\ \text{yd}$

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   Calcula el área del sector. Eleva primero el radio al cuadrado y luego toma la mitad:

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(12)^2\left(\frac{7\pi}{18}\right)=72\left(\frac{7\pi}{18}\right)=28\pi\approx 87.965\ \text{yd}^2$

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   Escribe las dos respuestas redondeadas.

   $\boxed{s\approx 14.661\ \text{yd},\qquad A\approx 87.965\ \text{yd}^2}$

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   Comprueba con la relación A = ½rs. Eliminar $\theta$ entre las dos fórmulas da $A=\tfrac12 rs$. En forma exacta, $\tfrac12(12)\left(\tfrac{14\pi}{3}\right)=28\pi$, que es exactamente el área hallada arriba. (Usar en su lugar el valor redondeado $s=14.661$ da $87.966$, con diferencia en el último dígito debida únicamente al redondeo.)