Halla el valor de sin(20 grados) con cuatro cifras decimales.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba si el ángulo es especial. Los ángulos de valor exacto en un primer curso son $0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$ y sus reflexiones. $20^\circ$ no es ninguno de ellos, así que no hay ninguna expresión limpia con radicales que citar — de verdad hace falta la calculadora, no es que se esté pasando por alto un atajo.

2. 2

   Acota la respuesta antes de calcular. El seno es creciente en $[0^\circ,90^\circ]$, y $\sin0^\circ=0$ mientras $\sin30^\circ=0.5$. Como $0^\circ<20^\circ<30^\circ$, el valor tiene que estar estrictamente entre $0$ y $0.5$, y más cerca de $0.5$ que de $0$ porque $20$ está a dos tercios del camino hacia $30$.

3. 3

   Afina la estimación con la aproximación de ángulo pequeño. En radianes $20^\circ=\tfrac{\pi}{9}=0.349066$, y para $\theta$ pequeño, $\sin\theta\approx\theta-\tfrac{\theta^3}{6}=0.349066-0.007090=0.341976$. Así que espera algo cercano a $0.342$.

4. 4

   Evalúa con cuatro cifras decimales. Con la calculadora en modo grados:

   $\sin20^\circ=0.3420201\ldots\approx0.3420$

   Esto coincide con la estimación de la serie en cuatro decimales ✓ y cae dentro de la ventana prevista $(0,0.5)$ ✓.

5. 5

   Protégete del error de modo clásico. En modo radianes las mismas teclas devuelven $\sin(20\ \text{rad})=0.9129$ — un número completamente distinto. La cota del paso 2 lo detecta al instante, y por eso estimar primero vale los pocos segundos que cuesta.

6. 6

   Observa por qué no existe forma exacta con radicales. $20^\circ$ es un tercio de $60^\circ$, y trisecar un ángulo construible no es posible en general con raíces cuadradas: $\sin20^\circ$ es raíz de $8t^3-6t+\sqrt3=0$ (a partir de $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ con $\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$, multiplicando todo por $-2$), mientras que la identidad compañera $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ con $\cos60^\circ=\tfrac12$ le da a $\cos20^\circ$ la cúbica $8t^3-6t-1=0$ — y esa sí tiene coeficientes racionales y es irreducible sobre los racionales, que es precisamente lo que descarta cualquier expresión con raíces cuadradas. Verificando las dos: $\cos20^\circ=0.9396926$ da $8(0.9396926)^3-6(0.9396926)-1=0.000000$ ✓, y $\sin20^\circ=0.3420201$ da $8(0.3420201)^3-6(0.3420201)+\sqrt3=0.000000$ ✓.