Calcular arccos(0.75), dando la respuesta en grados y en radianes.

Step-by-step solution

1. 1

   Entender lo que se pide. $\cos^{-1}(0.75)$ es el ángulo $\theta$ tal que $\cos\theta=0.75$ y $0\le\theta\le\pi$: el recorrido principal del coseno inverso, que a diferencia del arcoseno va de $0$ a $180^{\circ}$ y no de $-90^{\circ}$ a $90^{\circ}$.

2. 2

   Revisar el argumento y estimar la respuesta a grandes rasgos. El dominio de $\cos^{-1}$ es $[-1,1]$ y $0.75$ está dentro. Como $\cos 0^{\circ}=1$ y $\cos 60^{\circ}=0.5$, y $0.75$ queda entre ambos, la respuesta debe estar entre $0^{\circ}$ y $60^{\circ}$, más cerca de $45^{\circ}$ porque $\cos 45^{\circ}\approx 0.707$. Esta estimación es la que delata una calculadora en el modo equivocado.

3. 3

   Reconocer que $0.75$ no es un ángulo notable. A diferencia de $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$ o $\tfrac{\sqrt3}{2}$, el valor $0.75$ no corresponde a ningún triángulo estándar, así que no hay forma cerrada exacta y la calculadora es realmente necesaria.

4. 4

   Calcular en grados.

   $\cos^{-1}(0.75)=41.4096^{\circ}\approx 41.41^{\circ}$

   Queda entre $0^{\circ}$ y $60^{\circ}$ y justo por debajo de $45^{\circ}$, exactamente como se había previsto.

5. 5

   Convertir a radianes. Se multiplica por $\dfrac{\pi}{180}$:

   $41.4096\times\frac{\pi}{180}=0.7227\ \text{rad}$

   Como comprobación, $0.7227$ es un poco menor que $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$, coherente con que el ángulo esté justo por debajo de $45^{\circ}$. Verificando de vuelta: $\cos(0.7227)=0.75000$ ✓.