Evalúa cos 240 grados de forma exacta.

Step-by-step solution

1. 1

   Ubica el ángulo y fija el signo. $240^\circ$ está entre $180^\circ$ y $270^\circ$, así que cae en el tercer cuadrante. Allí las coordenadas $x$ e $y$ de la circunferencia unitaria son ambas negativas, y como el coseno es la coordenada $x$, $\cos240^\circ$ tiene que ser negativo. Deducir el signo a partir del cuadrante antes de calcular cualquier magnitud evita el error más común.

2. 2

   Halla el ángulo de referencia. Midiendo desde el eje horizontal más cercano, $180^\circ$:

   $240^\circ-180^\circ=60^\circ$

   Así que el ángulo de referencia es $60^\circ$, y la magnitud de $\cos240^\circ$ es igual a la de $\cos60^\circ$.

3. 3

   Usa la identidad del tercer cuadrante. Para un ángulo escrito como $180^\circ+\theta$,

   $\cos\!\left(180^\circ+\theta\right)=-\cos\theta$

   lo que para $\theta=60^\circ$ da

   $\cos240^\circ=-\cos60^\circ$

4. 4

   Sustituye el valor exacto del ángulo notable. Del triángulo de $30$–$60$–$90$, $\cos60^\circ=\tfrac12$, así que

   $\cos240^\circ=-\frac{1}{2}$

5. 5

   Verifica y haz una comprobación cruzada. Numéricamente $\cos240^\circ=-0.5$ con un error menor que $10^{-15}$ ✓. Comprobación de consistencia con la identidad pitagórica: $\sin240^\circ=-\tfrac{\sqrt3}{2}$, y $\left(-\tfrac12\right)^{2}+\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^{2}=\tfrac14+\tfrac34=1$ ✓. Observa que $240^\circ$ corresponde a $\tfrac{4\pi}{3}$ radianes, lo que da el punto $\left(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$ de la circunferencia unitaria.