Demuestra que tan(30 grados) = raíz de 3 dividida entre 3, y explica por qué la respuesta no es raíz de 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Parte de la definición de tangente. La tangente no es un valor independiente que haya que memorizar; es un cociente:

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

   Así que el valor exacto de $\tan30^\circ$ se deduce del seno y el coseno exactos.

2. 2

   Recuerda los valores del triángulo de 30-60-90. En un triángulo rectángulo de ángulos $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ los lados están en razón $1:\sqrt3:2$, lo que da

   $\sin30^\circ=\frac{1}{2},\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$

3. 3

   Forma el cociente y simplifica. Dividir fracciones equivale a multiplicar por la inversa:

   $\tan30^\circ=\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$

   Los dos medios se cancelan y queda $\tfrac{1}{\sqrt3}$.

4. 4

   Racionaliza el denominador. $\tfrac{1}{\sqrt3}$ es correcto, pero por convenio se reescribe sin radical debajo de la raya:

   $\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$

   Así que $\tan30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$, y $\tfrac{1}{\sqrt3}$ y $\tfrac{\sqrt3}{3}$ son el mismo número, no dos respuestas distintas.

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   Explica la confusión habitual con raíz de 3. $\sqrt3$ es $\tan60^\circ$, porque a $60^\circ$ los papeles de los catetos se intercambian: $\tan60^\circ=\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3$. Los dos son inversos entre sí: $\tan30^\circ\cdot\tan60^\circ=1$.

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   Comprueba el orden de magnitud, que lo zanja al instante. $\tfrac{\sqrt3}{3}\approx0.5774$, que es menor que $\tan45^\circ=1$: correcto, ya que $30^\circ<45^\circ$. En cambio, $\sqrt3\approx1.732$ es mayor que $1$, así que nunca podría ser la tangente de un ángulo menor de $45^\circ$ ✓.