Calcula cos(2π/9) por cos(4π/9) por cos(8π/9).

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta el patrón de duplicación. Cada ángulo es el doble del anterior: $\tfrac{2\pi}{9}\to\tfrac{4\pi}{9}\to\tfrac{8\pi}{9}$. Tomando $x=\tfrac{2\pi}{9}$, el producto es exactamente $\cos x\cos2x\cos4x$: una cadena que la fórmula del seno del ángulo doble hace telescópica.

2. 2

   Recuerda la identidad telescópica. Multiplicando por $\sin x$ y aplicando $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ repetidamente se obtiene

   $\cos x\cos2x\cos4x=\frac{\sin8x}{8\sin x}$

   Cada duplicación aporta un factor $2$, así que tres cosenos producen el $8$ del denominador.

3. 3

   Sustituye $x=\tfrac{2\pi}{9}$. Entonces $8x=\tfrac{16\pi}{9}$ y

   $\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}\cos\frac{8\pi}{9}=\frac{\sin\frac{16\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}$

4. 4

   Simplifica el seno del numerador. Como $\tfrac{16\pi}{9}=2\pi-\tfrac{2\pi}{9}$ y $\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta$:

   $\sin\frac{16\pi}{9}=-\sin\frac{2\pi}{9}$

   Este es el paso que hace que todo se cancele: el numerador se vuelve el opuesto del seno que ya estaba en el denominador.

5. 5

   Cancela y termina.

   $\frac{-\sin\frac{2\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}=-\frac{1}{8}$

   La cancelación es legítima porque $\sin\tfrac{2\pi}{9}\neq0$.

6. 6

   Verifica numéricamente y revisa el signo. La evaluación directa da $0.766044\times0.173648\times(-0.939693)=-0.125$, que coincide con $-\tfrac18$ con un error menor que $10^{-15}$ ✓. El signo es correcto porque $\tfrac{8\pi}{9}$ queda apenas por debajo de $\pi$, lo que lo sitúa en el segundo cuadrante, donde el coseno es negativo, mientras que los otros dos factores son positivos.