Un sector circular tiene ángulo central pi/3 radianes y radio 2 ft. Halla la longitud de arco s y el área A del sector, redondeadas a tres decimales.

Step-by-step solution

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   Escribe las dos fórmulas del sector. Para un ángulo central $\theta$ en radianes,

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   No son más que la fracción $\theta/(2\pi)$ de la longitud completa de la circunferencia $2\pi r$ y del área total $\pi r^2$.

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   Calcula la longitud de arco.

   $s=r\theta=2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ft}$

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   Calcula el área del sector. Eleva primero el radio al cuadrado y luego toma la mitad:

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(2)^2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12(4)\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ft}^2$

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   Da las dos respuestas redondeadas.

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{ft},\qquad A\approx 2.094\ \text{ft}^2}$

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   Comprueba con la relación A = ½rs. Al eliminar $\theta$ queda $A=\tfrac12 rs$, y $\tfrac12(2)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}$, exactamente el área hallada arriba.

6. 6

   Por qué aquí las dos respuestas coinciden numéricamente. $A=\tfrac12 r^2\theta$ y $s=r\theta$ se diferencian en el factor $\tfrac12 r$, que vale $1$ exactamente cuando $r=2$. Así que esta coincidencia es propia del radio $2$ y no se traslada a los demás radios; además, las unidades siguen siendo distintas ($\text{ft}$ frente a $\text{ft}^2$).