Trigonometry
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Real trigonometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
解は x = 5π/4 + 2πn と x = 7π/4 + 2πn（n は整数）。サインが負なので角は第 3 象限と第 4 象限にあり、どちらも参照角は π/4 である。周期 2π ごとに繰り返す。
参照角は π/3 で、サインは第 1 象限と第 2 象限で正になる。したがって解は、すべての整数 n について x = π/3 + 2πn および x = 2π/3 + 2πn である。周期 2π ごとに繰り返す。
角はおよそ 143.13° と 216.87°（2.498 rad と 3.785 rad）。arccos(0.8) を参照角とし、コサインが負になる第 2 象限と第 3 象限に置けばよい。
角はおよそ 9.49°、85.26°、85.26° である。3 辺だけが分かっていて角が 1 つも無いので、余弦定理が唯一の入口になる。
弧の長さは 5π/2 = 7.854 cm、面積は 45π/4 = 35.343 cm²。まず 50° を 5π/18 ラジアンに直し、s = rθ と A = (1/2)r²θ を使う。
弧の長さは 14π/3 = 14.661 yd、面積は 28π = 87.965 yd²。s = rθ と A = (1/2)r²θ を使う前に、70° を 7π/18 ラジアンに直しておく。
どちらも 2π/3 = 2.094 になる。r = 2 のとき (1/2)r² が r に等しくなるので、弧の長さ（ft）と面積（ft²）が同じ数値を共有する。r = 2 に特有の偶然である。
弧の長さは 2π/3 = 2.094 m、面積は 4π/3 = 4.189 m²。角を半分にして半径を 2 倍にすると弧の長さは変わらないが、扇形の面積は 2 倍になる。
120° を 2π/3 ラジアンに直し、s = rθ = 3 × 2π/3 = 2π = 6.283 m とする。これはちょうど円周の 3 分の 1 にあたる。
和は x > 0 なら π/2、x < 0 なら −π/2 で、x = 0 では定義されない。2 つの角はどちらも x の符号を引き継ぐので、値は (π/2)·sgn(x) であり 0 にはならない。
偶関数は −7x² + 1、cos(−x)、tan x / x。奇関数は sin x / cos x と csc x。どちらでもないのは 4x³ − 3x² + 5 で、偶数次と奇数次が混ざって対称性が消えている。
高度は 1.75√3 = 3.03 km で、比較対象の 4.5 km より低い。600 km/h の場合と同じ方法だが、時間が短いために結論が逆になる。
航空機 Q は 3.71231 km まで上昇し、航空機 P の 5 km より低い。鉛直方向の速さは 450 sin 45° = 318.198 km/h、0.7 分は 0.0116667 時間である。
航空機 A は 5 km まで上昇し、航空機 B の 7 km より低い。鉛直方向の速さは 500 sin 30° = 250 km/h、1.2 分は 0.02 時間である。
高度は 9√3 = 15.59 km で、比較対象の 10 km より高い。効くのは鉛直成分 v sin 60° だけであり、1.8 分は 0.03 時間に直す必要がある。
航空機 E は 7.7 km まで上昇し、航空機 F の 8 km より低い。鉛直方向の速さは 440 sin 30° = 220 km/h、2.1 分は 0.035 時間である。
答えは [−5π/6, 5π/6]。不等式は cos x ≥ −√3/2 に帰着し、0 を中心とする 1 周期の上では区間の真ん中の帯 1 つになる。
2都市はおよそ 695.8 マイル離れている。緯度の差から中心角 10度4分を求め、ラジアンに直してから s = rθ を使う。
arccos(0.33) = 1.234493 rad = 70.7312°。0.33 は特別な余弦の値ではないので、厳密な答えは arccos(0.33) のままで、そのあとに小数近似を書くしかない。
答えは約 41.41 度、ラジアンでは約 0.7227。0.75 は特別な角の余弦ではないので電卓が必要で、しかも角度モードが正しく設定されていなければならない。
arccos(1/√3) は約 0.9553 ラジアン、度でいえば約 54.7356°。0.57735 は特別な角の余弦ではないので、この角に π を使った閉じた形は存在しない。
答えは π/4 で、符号は正。√2/2 は 45° の余弦であり、逆余弦の値域が 0 から π なので、答えは第 1 象限の角に決まる。
arcsin(0.375) = arcsin(3/8) ≈ 0.384397 rad ≈ 22.0243°。閉じた形の角を与える正弦は 0, ±1/2, ±√2/2, ±√3/2, ±1 だけであり、3/8 はその中に無い。
arcsin(0.395) ≈ 0.406068 rad ≈ 23.2660°。0.395 = 79/200 は特別な角の正弦ではないので、厳密な答えは逆正弦の形のまま残る。
答えは π/3、すなわち 60°。sin(2π/3) も √3/2 に等しいが、arcsin は [−π/2, π/2] の値しか返さないので 2π/3 は答えにならない。
答えは約 0.002999991 ラジアン、度でいえば約 0.1719°。入力が微小なとき arctan(x) は x にきわめて近く、ここでは小数第 8 位で初めて違いが出る。
答えは約 12.68 度、ラジアンでは約 0.2213。まず比を 0.2250 にまとめてから逆正接をとる。比が小さければ角も小さい、という見通しが検算になる。
値は約 0.75666 ラジアン、度でいえば約 43.35 度。分数は 929/984 に約分できるが、これは特別な正接の値ではないので、厳密な角は存在しない。
値は約 0.46365 ラジアン、度でいえば約 26.565 度。正接が 1/2 となる角のことだが、特別な角ではないので厳密な閉じた形は存在しない。
厳密な値は −√2/2、およそ −0.7071。225° は余弦が負になる第 3 象限にあり、その参照角は 45° である。
答えは −1/2。240 = 180 + 60 なので角は余弦が負になる第 3 象限にあり、cos 240° は −cos 60°、すなわち −1/2 に等しい。
答えは −1/8。角が毎回 2 倍になるので、恒等式 cos x cos 2x cos 4x = sin 8x /(8 sin x) を使えば積が一手でたたまれる。
値は約 0.9925。7° を 0.12217 ラジアンに直し、級数 1 − x²/2 + x⁴/24 を使うと、同じ小数第 4 位までが再現される。
答えは約 0.99006。3 は π をわずかに下回るので sin(3 ラジアン) は 0.14112 となり、その余弦は 1 にきわめて近い値になる。
答えは約 0.3420。20° は作図できる特別な角ではないので、通常の根号による表示は存在せず、電卓が本当に必要になる。
答えは −√2/2、およそ −0.7071。225° は正弦が負になる第 3 象限にあり、その参照角はちょうど 45° である。
答えは −1。315 = 360 − 45 なので角は正接が負になる第 4 象限にあり、tan 315° は −tan 45°、すなわち −1 に等しい。
厳密な値は √(5 − 2√5)、およそ 0.72654。正接の周期は π なので 4.2π は 0.2π = π/5、すなわち 36° に帰着する。
値は約 0.1228。7° はラジアンで 0.12217 であり、小さい角では tan x が x に近いので、答えはラジアン値そのものをわずかに上回る程度になる。
値は約 0.8794。cos 20° = 0.9396926 なので 2 倍して 1.8793852、そこから 1 を引くと 0.8793852 となり、小数第 4 位では 0.8794 になる。
答えは 5π/6 であり、−π/6 ではない。arccos の値域は [0, π] なので、負の入力に対しては参照角 π/6 を π から引いた第 2 象限の角になる。
答えは ±√((7√145 − 79)/18)、およそ ±0.5422。u = sin²x と置くと 2 次方程式になり、平方になり得るのは正の根だけである。
答えは sin 2x = ±2√2/3。2 乗すると u = sin²x について 6u² + u − 1 = 0 となり u = 1/3、cos x = √6/3 は正に確定するが、sin x は両符号が残る。
sin A = 3/4。要は cos B = −cos(A + C) で、これにより分子が sin A sin C に潰れ、条件は tan C = √3、すなわち C = 60° になる。
sin A = 3/4。B を π − A − C に置き換えると分子が sin A sin C になり、比は tan C = √3 に帰着する。あとは正弦定理で仕上がる。
答えは約 41.30 度、ラジアンでは約 0.7208。正弦が 0.67 から 0.01 下がるだけで、角はおよそ 4 分の 3 度動く。
答えは約 42.07 度、ラジアンでは約 0.7342。0.67 は sin 45° = 0.7071 をわずかに下回るので、角も 45 度をわずかに下回ることになる。
答えは約 53.13 度、ラジアンでは約 0.9273。sin θ = 4/5 = 0.8 がちょうど成り立つ 3-4-5 の三角形の角であり、これが精度の確認に使える。
s = rθ より θ = s/r = 3/5 = 0.600 ラジアン、度でいえば約 34.38°。単位が約分されるため、ラジアンは無次元量になる。
A = (1/2)r²θ を変形すると θ = 2A/r² = 6/25 = 0.240 ラジアン、度でいえば約 13.75° になる。
s = rθ より r = s/θ = 2 ÷ (1/3) = 6 フィート。分数で割ることは、その逆数を掛けることである。
A = (1/2)r²θ を変形して r = √(2A/θ) とする。A = 2、θ = 1/3 では r² = 12 となり、r = 2√3 = 3.464 ft が得られる。
5 km まで上がるので、高度 7 km を飛ぶ機よりまだ低い。速さ 500 km/h に sin 30° を掛けて上昇の速さを出し、時間単位に直した時間を掛ける。
答えは「正しい」。余弦は単位円上の x 座標であり、180° は (−1, 0) に対応するので cos(180°) = −1 はちょうどの値であり、近似ではない。
正しい。7π/6 = π + π/6 は第3象限にあるので sin(7π/6) = −1/2 であり、余割は正弦の逆数なので csc(7π/6) = 1/(−1/2) = −2 とちょうどになる。
sin x / x は偶関数、cos x / x は奇関数。奇関数を奇関数 x で割ると偶関数になり、偶関数を x で割ると奇関数になる。
答えは「正しい」。tan = sin/cos であり sin(π) = 0、cos(π) = −1 なので商は 0/(−1) = 0 になる。分子が 0 で分母が 0 でなければ、値は単に 0 である。
壁を 24 ft 登り、足元が壁から 7 ft のはしごは長さ 25 ft で、地面と約 73.7° をなす。長さは三平方の定理、角度は arctan で求める。
三角形は 2 通りある：a = 75√3 + 15√39 = 223.58 と a = 75√3 − 15√39 = 36.23。未知の辺が 2 乗と 1 次の両方で現れるため 2 次方程式になる。
A はおよそ 69.6 度、x はおよそ 24.03。sin A = 23 sin32° / 13 = 0.9375 であり、A が鋭角に見えるという但し書きが鈍角の相棒 110.4 度を排除する。
周期は 2π/3。効くのは x の係数だけなので 2π を 3 で割る。振幅 2 と位相のずれ −2π は周期を変えない。
周期は 2π。コセカントは正弦の逆数なので正弦の周期 2π をそのまま受け継ぎ、振幅の因子 3 は周期にまったく影響しない。
両辺とも tan²A + cos²A に帰着する。左辺は直接それになり、右辺は sec²A − sin²A になって、sec²A = 1 + tan²A と 1 − sin²A = cos²A で橋が架かる。
基準角はそれぞれ 30°、45°、π/3、π/4。まず象限を判断し、近い方の x 軸まで測り戻す。象限ごとに短い規則が1つずつある。
x > 0 では π/2 − arctan x、x < 0 では −π/2 − arctan x。主値の範囲が π ラジアンしかないので、x の符号が定数を決める。
120 度を 2π/3 ラジアンに直し、A = (1/2)(9)(2π/3) = 3π = 9.425 m² を得る。これは円全体の面積のちょうど 3 分の 1 である。
答えは cos(2x) + 5。余関数の位相のずれ sin(θ + π/2) = cos(θ) を θ = 2x に適用する。足された 5 は中心線を上げるだけである。
答えは sin(9x)tan(12x)。cot(12x) = cos(12x)/sin(12x) で割ることは逆数 sin(12x)/cos(12x) を掛けることであり、その比がまさに tan(12x) である。
答えは sin²(A)/cos(A) − 1。cot A を cos A/sin A に書き直すと最初の商はタンジェント型の比になり、csc A × sin A は 1 にまとまる。
まずピタゴラスの組をまとめる。sin² + cos² = 1 なので 1 + tan² が残り、これはまさに sec²θ の公式である。
この式は √(1 − sin²α cos²β)/|cos α| に等しい。tan α を sin α / cos α と書けば、根号を取る前にすべてが cos²α の上に乗る。
斜面の長さを 1 とおき、2 回の観測の間の水平距離を消去する。tan 15 = 2 − √3 を使うと tan θ = (6 + 9√3)/23、およそ 0.9386（θ ≈ 43.2 度）となる。
解は 7π/24、23π/24、31π/24、47π/24 の 4 つ。角全体を t と置くと区間が [π/4, 17π/4) に伸び、その中に解が 4 個入る。
答えは x = π/6 + 2πk または x = 5π/6 + 2πk（k は整数）。サインは 1 周のあいだに 2 回 1/2 になるので、π/6 だけでは解の半分にしかならない。
解は 2 系統ある。すべての x に対する y = π と、|sin(y/2)| ≤ 1/2 を要する sin(x + y/2) = 2 sin(y/2)。cos(y/2) で割ると y = π の分枝が消えてしまう。
答えは x = 6 + 2arcsin(2/3) + 4πk と x = 6 + 2π − 2arcsin(2/3) + 4πk。サインを孤立させ、一般解の 2 つの分枝をどちらも使う。
一般解は x = −π/6 + πk。整理すると tan x = −√3/3 となり、その基準角は π/6 である。タンジェントの周期は π なので系統は 1 つで足りる。
答えは x = ±π/6 + kπ。平方根をとると cos x = ±√3/2 となり、1 周に 4 つある基本角が π 間隔の 2 系統にまとまる。
x = nπ ± arcsin(√((√145 − 1)/12))、およそ nπ ± 1.2843 ラジアン。6u² + u − 6 = 0 の解のうち 0 ≤ u ≤ 1 に入るのは 1 つだけである。
解は x ≈ 440.67。両辺を 2 乗して sec²θ − 1 = tan²θ を使うと方程式は x·tan 20° = √25725.16 に帰着し、x = √25725.16 / tan 20° となる。
解は x ≈ 284.44。根号の中の定数は 26.8² + 100² = 10718.24 で、その平方根を tan 20° = 0.36397 で割れば x が直接求まる。
解は x ≈ 345.26 であり 345.1 ではない。2 乗したあと sec²20° − 1 = tan²20° を使うと x = √15791.21 / tan 20°、すなわち 125.6631 ÷ 0.3639702 となる。
答えは a = 6.32857 度（および 172.52555 度）。共通因数 89.474 で割り、R = √1.0001 とする合成 R sin(a + φ) の形に直す。
答えは x = √5/5、およそ 0.4472。両辺のサインをとると 2x = √(1−x²) になり、その符号条件が負のほうの根を排除する。
答えは x = 1.227111 と x = 5.818835 ラジアン。和積の公式で左辺は 2cos(3x/2 − π/6)cos(x/2 − π/6) になるが、根を閉じた形で書くことはできない。
答えは x = 1.227111 と x = 5.818835 ラジアン。加法定理で展開し、c = cos x の 4 次方程式 4c⁴ + 2c³ − 4c² − 2c + 1 = 0 に帰着させ、無縁根を捨てればよい。
x = ±arctan(√(−cos t)) + kπ であり、しかも cos t ≤ 0 のときに限る。tan²x は決して負にならないので、cos t が正なら実数解は存在しない。
解は x = 2π/3 + 2πk と x = 4π/3 + 2πk。sin x を掛けると 2cos²x − cos x − 1 = 0 になるが、sin x ≠ 0 なので根 cos x = 1 は捨てなければならない。
答えは x = 3π/8 + (π/2)k。両辺を 2 倍すると sin2x cos2x が sin4x になり、2 つの関数の積がひとつの正弦の方程式にまとまる。
解は 4 つ：x = π/6、π/3、7π/6、4π/3。まず [0, 4π] 上で 2x について解き、それから角を半分にする。sin x の場合と比べて解の個数が倍になる。
答えは sin2x = ±2√2/3。u = sin²x と置くと 6u² + u − 1 = 0 になり、負の解を捨ててから sin²2x = 4sin²x cos²x を使う。
答えは x = π/4 + kπ/2（k は任意の整数）。平方根をとると sin x = ±√2/2 となり、生じる 4 つの族がひとつの等差数列にまとまる。
[0, 2π) における解は 0、π、3π/2。式を sin x (sin x + 1) = 0 と因数分解し、sin x = 0 と sin x = −1 を別々に解く。
答えは x = 7π/6 + 2πk または 11π/6 + 2πk。正弦は第 3 象限と第 4 象限で負であり、どちらでも基準角は π/6 である。
解は sin x = 3/4 と sin x = −1。cos 2x = 1 − 2 sin^2 x を使って 4t^2 + t − 3 = 0 に直し、それぞれの正弦の方程式を解く。
答えは θ = π/4 + kπ、度数法では 45 + 180k 度。正接は半回転ごとに繰り返すので π/4 も 5π/4 も解になり、ひとつの族で全部を覆える。
答えは y = sin(2x + π/3)。x を x + π/12 に置き換えると位相に 2 × π/12 = π/6 が加わるので、π/12 の移動で位相はちょうどその 2 倍動く。
α = 36°、γ = 50°、b = 78.2 のとき面積は約 1380.1。3つ目の角を求めたあと K = b^2 sin α sin γ / (2 sin β) を使う。
答えは任意の整数 k に対する a = kπ − π/4 で、最小の正の値は 3π/4。平行移動した正弦が奇関数になるのは、位相全体が π の整数倍のときに限る。
この等式は偽であり、解は存在しない。cos(2π) = 1 なので右辺は 5 となり 10 とは異なる。5 cos x が 5 以下であることからも同じ結論が出る。
答えは tan(−π/6)。タンジェントは周期 π をもち奇関数なので、どちらも −1/√3 になる。tan(7π/6) と tan(−5π/6) はともに +1/√3、cot(5π/6) は −√3 である。
偶関数は y = cos(5πx/4) だけである。f(−x) を調べると、正弦・正接・余割の選択肢はいずれも符号が反転するので、その 3 つは奇関数である。
成り立ちうるのは tan(m) = 2 と sin(m) = −0.9 だけ。残りは正弦・余弦の値域が [−1, 1] であるため、あるいは cot(0)、csc(π)、π/2 に対する逆正割が定義されないためである。
tan 30° = 1/√3 = √3/3、およそ 0.5774。sin 30° を cos 30° で割って分母を有理化した値である。√3 そのものは tan 60° の値である。