次のそれぞれが実数 m について成り立ちうるかを判定せよ。cos(m) = 2、tan(m) = 2、cot(0) = m、csc(π) = m、sin(m) = −1.1、arcsec(m) = π/2、cot(π) = m、sin(m) = −0.9。

Step-by-step solution

1. 1

   8 つの主張を 2 種類に分ける。 (a)、(b)、(e)、(h) では未知数が関数の 中 にあるので、問題は与えられた出力が関数の値域に入るかどうかである。(c)、(d)、(g) では未知数が 出力 なので、問題はその入力で関数が定義されるかどうかである。(f) は逆関数の値域についての問いである。

2. 2

   (a)、(e)、(h) には正弦と余弦の値域を使う。 すべての実数 $m$ について

   $-1\le\sin m\le 1,\qquad -1\le\cos m\le 1.$

   が成り立つ。よって $\cos(m)=2$ は成り立ちえず、$\sin(m)=-1.1$ も成り立ちえない。一方 $\sin(m)=-0.9$ は成り立ちうる（たとえば $m=\arcsin(-0.9)\approx-1.1198$）。

3. 3

   (b) には正接の値域を使う。 $\tan$ は各分枝ですべての実数値をとるので $\tan(m)=2$ は成り立ちうる。$m=\arctan 2\approx 1.1071$ が該当し、$m\approx 1.1071+k\pi$ も同様である。

4. 4

   (c)、(d)、(g) では余接と余割が発散する場所を調べる。 どちらも分母に $\sin$ をもつ。

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\qquad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.$

   $\sin 0=0$、$\sin\pi=0$ なので、$\cot(0)$、$\csc(\pi)$、$\cot(\pi)$ の 3 つはいずれも定義されない——順に $\tfrac10$、$\tfrac10$、$\tfrac{-1}{0}$ である。定義されない式に等しい実数 $m$ は存在しないので、(c)、(d)、(g) は成り立ちえない。

5. 5

   (f) では逆正割の値域を調べる。 逆正割は値域 $\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right]$ で定義される——値 $\tfrac{\pi}{2}$ は意図的に除かれている。$\sec\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{\cos(\pi/2)}=\tfrac10$ が定義されないからである。よって $\sec^{-1}(m)=\tfrac{\pi}{2}$ は成り立ちえない。

6. 6

   判定をまとめる。 成り立ちうる：(b) と (h)。成り立ちえない：(a)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)。覚えておく価値のある型は、有界な関数は大きさで破綻し、逆数の関数は分母が 0 になるところで破綻する、ということである。