すべての実数 x について 3sin(0.5x - 3) + 1 = 3 を解け。

Step-by-step solution

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   まずサインの因子を孤立させる。 サインが係数とずれに埋もれたままでは、三角関数としての操作は何もできない。$1$ を引き、次に $3$ で割る。

   $3\sin(0.5x-3)=2\qquad\Longrightarrow\qquad \sin(0.5x-3)=\frac{2}{3}$

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   解が存在することを確かめる。 サインの値域は $[-1,1]$ であり、$\tfrac{2}{3}\approx0.667$ はその中に入るので解は存在する。（右辺が $1$ を超えていれば解は存在しない。この確認は式変形に入る前にやっておく価値がある。）

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   サインの一般解の 2 つの分枝を書く。 $\theta=0.5x-3$ とおくと、方程式 $\sin\theta=\tfrac23$ は 1 周期あたり 2 つ の系統の解を持つ。サインは上りで 1 回、下りで 1 回、同じ値を取るからである。

   $\theta=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k\qquad\text{または}\qquad \theta=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

   最初の分枝だけを残してしまうのが、ここで最も多い誤りである。

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   内側の変換をほどく。 $3$ を足して $2$ を掛ける。$2$ を掛けることで $2\pi k$ も $4\pi k$ に倍加する——$x$ についての $\sin(0.5x-3)$ の周期は $\tfrac{2\pi}{0.5}=4\pi$ であって $2\pi$ ではない。

   $x=6+2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k\qquad\text{または}\qquad x=6+2\pi-2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k$

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   主要な解を数値で評価する。 $\arcsin\!\left(\tfrac23\right)\approx0.7297$ なので、2 つの基本解は $x\approx6+1.4595=7.4595$ と $x\approx6+6.2832-1.4595=10.8237$ である。

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   どちらも代入して検証する。 $x\approx7.4595$ のとき $0.5x-3\approx0.7297$ であり $3\sin(0.7297)+1=3.0000$ ✓。$x\approx10.8237$ のとき $0.5x-3\approx2.4119$ であり $3\sin(2.4119)+1=3.0000$ ✓。どちらに $4\pi$ の整数倍を足しても同じ値が再現される。