次のそれぞれについて基準角を求めよ：210度、135度、5π/3、5π/4。

Step-by-step solution

1. 1

   基準角とは何かを押さえる。 $\theta$ の基準角とは、$\theta$ の動径と $x$ 軸 がなす鋭角であって、$y$ 軸との角ではない。つねに $(0^\circ,90^\circ)$、弧度法では $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ の範囲にあり、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の大きさを第1象限から読み取り、そこに正しい符号を付けるために使う。

2. 2

   象限ごとに1つずつの規則を覚える。 $0$ から1回転までの $\theta$ について：

   象限	度数法	弧度法
   I	$\theta$	$\theta$
   II	$180^\circ-\theta$	$\pi-\theta$
   III	$\theta-180^\circ$	$\theta-\pi$
   IV	$360^\circ-\theta$	$2\pi-\theta$

   どの行も、近い方の $x$ 軸の半直線まで測り戻しているだけである。$\theta$ が負であったり1回転を超えていたりする場合は、まず $360^\circ$（$2\pi$）を足し引きする。

3. 3

   a. $210^\circ$。 $180^\circ<210^\circ<270^\circ$ なのでこの角は第III象限にあり、$180^\circ$ を引く：

   $210^\circ-180^\circ=30^\circ$

4. 4

   b. $135^\circ$。 $90^\circ<135^\circ<180^\circ$ なのでこの角は第II象限にあり、$180^\circ$ から引く：

   $180^\circ-135^\circ=45^\circ$

5. 5

   c. $\dfrac{5\pi}{3}$。 境界を同じ分母で書くと $\pi=\tfrac{3\pi}{3}$、$\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{4.5\pi}{3}$、$2\pi=\tfrac{6\pi}{3}$ である。$\tfrac{5\pi}{3}$ は $\tfrac{4.5\pi}{3}$ と $\tfrac{6\pi}{3}$ の間にあるので第IV象限である：

   $2\pi-\frac{5\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}-\frac{5\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$

6. 6

   d. $\dfrac{5\pi}{4}$。 $\pi=\tfrac{4\pi}{4}$、$\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{6\pi}{4}$ なので、$\tfrac{5\pi}{4}$ は第III象限に位置する：

   $\frac{5\pi}{4}-\pi=\frac{5\pi}{4}-\frac{4\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$

7. 7

   すべての答えを正弦の値で検算する。 基準角は三角比の大きさを再現しなければならない。$\sin 210^\circ=-\tfrac12$ に対し $\sin 30^\circ=\tfrac12$、$\sin 135^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ に対し $\sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$、$\sin\tfrac{5\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ に対し $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$、$\sin\tfrac{5\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ に対し $\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$。どの場合も符号だけが違っており、あるべき通りである。なお $210^\circ$ と $\tfrac{5\pi}{4}$ はどちらも第III象限なのに基準角は異なる。象限が決めるのは規則であって、答えそのものではない。