公式を使って sin²θ + tan²θ + cos²θ を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   ピタゴラスの組が隣り合うように並べ替える。 足し算は交換できるので、式は

   $\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)+\tan^{2}\theta$

   と並べ替えられる。何かを正弦と余弦に直す前に $\sin^{2}+\cos^{2}$ の組を見つけることが、作業を 2 行で終わらせる鍵である。

2. 2

   基本の公式を適用する。

   $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

   なので、式は $1+\tan^{2}\theta$ になる。

3. 3

   もう 1 つのピタゴラスの公式を見つける。 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ を $\cos^{2}\theta$ で割ると

   $\tan^{2}\theta+1=\sec^{2}\theta$

   が得られる。

4. 4

   答えを述べる。

   $\boxed{\sec^{2}\theta}$

   これは $\tan\theta$ と $\sec\theta$ が定義されるところ、すなわち $\cos\theta\neq 0$ で成り立つ。

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   都合のよい角で確かめる。 $\theta=60^{\circ}$ では $\sin^{2}=0.75$、$\tan^{2}=3$、$\cos^{2}=0.25$ で和は $4$ であり、$\sec^{2}60^{\circ}=\left(\tfrac{1}{0.5}\right)^{2}=4$ ✓。$\theta=45^{\circ}$ では $0.5+1+0.5=2$ であり $\sec^{2}45^{\circ}=\left(\sqrt2\right)^{2}=2$ ✓ である。