ある航空機が水平と30度をなす直線経路を時速500キロメートルで上昇する。1.2分後、高度7キロメートルを飛ぶもう1機と比べて高いか低いか。

Step-by-step solution

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   速度を成分に分ける。 $500$ km/h は飛行経路に沿って測った速さであって真上への速さではないので、そのまま時間に掛けることはできない。飛行経路を斜辺とする直角三角形をかくと、鉛直方向の辺は $30^{\circ}$ の角の対辺なので、鉛直方向（上昇）の速さは

   $v_{y}=v\sin\theta=500\sin 30^{\circ}.$

   コサインではなくサインを使う。サインは角と対辺を結びつけ、その対辺が高さにあたるからである。

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   鉛直方向の速さを計算する。 $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$ なので、

   $v_{y}=500\cdot\frac{1}{2}=250\ \text{km/h}.$

   機体の速さのうち高度を稼いでいるのは半分だけで、もう一方の成分 $500\cos 30^{\circ}\approx 433$ km/h は水平方向の移動に使われている。

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   時間の単位を速さの単位に合わせる。 速さは1時間あたりだが時間は分で与えられているので、掛ける前に換算する：

   $t=1.2\ \text{分}=\frac{1.2}{60}\ \text{時間}=0.02\ \text{時間}.$

   この換算を飛ばすのが、この種の問題で最も多い誤りである。

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   上昇した高度を計算する。

   $h=v_{y}t=250\times 0.02=5\ \text{km}.$

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   もう1機と比べる。 上昇中の機は $5$ km、もう1機は $7$ km にあり、$5<7$ なので、$1.2$ 分後の時点では上昇中の機の方がまだ低い。この上昇の速さで $7$ km に達するには $\dfrac{7}{250}\ \text{時間}=1.68$ 分が必要である。