ある三角形で、長さ 13 の辺は 32 度の角の対辺、長さ 23 の辺は角 A の対辺、辺 x は残りの角の対辺である。A が鋭角であるとして、角 A と x の長さを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   各辺を、その向かい合う角と対応させる。 正弦定理は辺とその対角を組にする：

   $\frac{\sin A}{23}=\frac{\sin 32^\circ}{13}=\frac{\sin C}{x}.$

   ここでの主な失敗は辺を誤った角と組にすることである——「隣」ではなく必ず「向かい」を確認する。

2. 2

   最初の組から sin A を求める。

   $\sin A=\frac{23\sin 32^\circ}{13}=\frac{23(0.529919)}{13}=\frac{12.18814}{13}=0.937549.$

   値が$1$より小さく出たこと自体が情報である：もし$1$を超えていたら、そのような三角形は存在しないことになる。

3. 3

   逆正弦を取り、曖昧さに向き合う。 電卓は

   $A=\arcsin(0.937549)=69.64^\circ,$

   を返すが、$\sin(180^\circ-69.64^\circ)=\sin(110.36^\circ)$も同じ値なので、鈍角の三角形も計算上はあり得る。これがいわゆる二辺夾角でない場合の曖昧さである。問題文は鋭角に見える角は鋭角と仮定してよいと述べているので、

   $A\approx 69.6^\circ$

   を取る。

4. 4

   残りの角を求める。

   $C=180^\circ-32^\circ-69.64^\circ=78.36^\circ.$

5. 5

   もう一度正弦定理を使って x を求める。

   $x=\frac{13\sin C}{\sin 32^\circ}=\frac{13(0.979421)}{0.529919}=\frac{12.73247}{0.529919}=24.03.$

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   辺と角の大小関係を確認する。 最大の角は$C=78.4^\circ$で最大の辺は$x=24.03$、最小の角は$32^\circ$で最小の辺は$13$である。辺と角が同じ順序に並んでおり、そうでなければならない。（参考までに、退けた鈍角の分枝では$A=110.4^\circ$、$x=14.98$となる。）