中心角 π/3 ラジアン、半径 2 ft の扇形がある。弧の長さ s と扇形の面積 A を小数第 3 位まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   扇形の 2 つの公式を書く。 中心角 $\theta$ がラジアンのとき、

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   である。これらは円周 $2\pi r$ と円の面積 $\pi r^2$ の $\theta/(2\pi)$ 倍にすぎない。

2. 2

   弧の長さを計算する。

   $s=r\theta=2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ft}$

3. 3

   扇形の面積を計算する。 先に半径を 2 乗し、それから半分にする：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(2)^2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12(4)\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{ft}^2$

4. 4

   丸めた答えを書き出す。

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{ft},\qquad A\approx 2.094\ \text{ft}^2}$

5. 5

   A = ½rs の関係で検算する。 $\theta$ を消去すると $A=\tfrac12 rs$ となり、$\tfrac12(2)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}$ で、上で求めた面積とぴったり一致する。

6. 6

   2 つの答えがここで数値的に一致する理由。 $A=\tfrac12 r^2\theta$ と $s=r\theta$ は因子 $\tfrac12 r$ だけ違い、これがちょうど $1$ になるのは $r=2$ のときである。つまりこの一致は半径 $2$ に特有のもので、他の半径には引き継がれない。しかも単位は依然として異なる（$\text{ft}$ と $\text{ft}^2$）。