tan 30° = √3 ÷ 3 であることを示し、なぜ答えが √3 ではないのかを説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   タンジェントの定義から出発する。 タンジェントは独立に暗記すべき値ではなく、比である。

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

   したがって $\tan30^\circ$ の厳密な値は、サインとコサインの厳密な値から従う。

2. 2

   30-60-90 の三角形の値を思い出す。 角が $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ の直角三角形では辺の比が $1:\sqrt3:2$ なので

   $\sin30^\circ=\frac{1}{2},\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$

   となる。

3. 3

   商を作って約分する。 分数で割ることは逆数を掛けることである。

   $\tan30^\circ=\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$

   2 つの 2 分の 1 が打ち消し合い、$\tfrac{1}{\sqrt3}$ が残る。

4. 4

   分母を有理化する。 $\tfrac{1}{\sqrt3}$ でも正しいが、慣例では分母に根号を残さない形に書き直す。

   $\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$

   よって $\tan30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$ であり、$\tfrac{1}{\sqrt3}$ と $\tfrac{\sqrt3}{3}$ は 2 つの別の答えではなく 同じ数 である。

5. 5

   √3 との混同を説明する。 $\sqrt3$ は $\tan60^\circ$ の値である。$60^\circ$ では 2 辺の役割が入れ替わるからで、$\tan60^\circ=\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3$ となる。両者は互いに逆数である：$\tan30^\circ\cdot\tan60^\circ=1$。

6. 6

   大きさを見れば即座に決着する。 $\tfrac{\sqrt3}{3}\approx0.5774$ は $\tan45^\circ=1$ より小さい——$30^\circ<45^\circ$ なので正しい。一方 $\sqrt3\approx1.732$ は $1$ より大きいので、$45^\circ$ 未満の角のタンジェントには決してなりえない ✓。