半径 5 マイルの円の扇形の面積が 3 平方マイルである。中心角を小数第 3 位まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   面積の公式を角について解く。 $A=\tfrac12 r^{2}\theta$ より、

   $\theta=\frac{2A}{r^{2}}$

   となる。半径は2 乗で入るので、ここで $r^{2}$ の代わりに $r$ を使うと、この問題では 5 倍の誤りになる。

2. 2

   代入する。

   $\theta=\frac{2(3)}{5^{2}}=\frac{6}{25}$

3. 3

   小数に直す。

   $\theta=0.24=0.240\ \text{ラジアン}$

   $\boxed{\theta=\dfrac{6}{25}=0.240\ \text{rad}}$

4. 4

   答えが無次元であることに注意する。 ラジアンで測った角は 2 つの長さの比なので、マイルどうしが約分される：$\text{mi}^2/\text{mi}^2$。だからこそ $0.240$ には「ラジアン」という語以上の単位が付かない。

5. 5

   面積を組み立て直して検算し、度にも直す。 $A=\tfrac12(25)(0.24)=12.5\times 0.24=3$ 平方マイル ✓。度では $0.24\times\tfrac{180}{\pi}=13.75^{\circ}$ となる。円全体の $\pi(25)=78.5$ 平方マイルのうち $3$ しか占めない扇形なので、細い扇形になるのは筋が通っている。