0 ≤ x < 2π の範囲で cos(2x − π/3) + cos(x) = 1/2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   加法定理で複合角を展開する。 $\cos\tfrac\pi3=\tfrac12$、$\sin\tfrac\pi3=\tfrac{\sqrt3}{2}$として$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$を使うと：$\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x+\cos x = \frac12.$

2. 2

   すべてを sin x と cos x で書く。 $c=\cos x$、$s=\sin x$と書き、$\cos 2x = 2c^2-1$、$\sin 2x = 2sc$を使うと：$\frac{2c^2-1}{2}+\sqrt3\,sc+c = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad c^2+c-1 = -\sqrt3\,sc.$

3. 3

   2乗して正弦を消す——ただし危険も承知しておく。 $s^2$を$1-c^2$で置き換えると：$(c^2+c-1)^2 = 3c^2(1-c^2) \quad\Longrightarrow\quad 4c^4+2c^3-4c^2-2c+1 = 0.$2乗すると、4次方程式は満たすがもとの方程式は満たさない根が生じうるので、最後にすべての候補を検証しなければならない。

4. 4

   4次方程式を数値的に解く。 $[-1,1]$の中でこの4次方程式はちょうど2つの根をもつ：$c \approx 0.3369592 \quad\text{および}\quad c \approx 0.8941126.$どちらもきれいな無理数の形にはならないので、答えは数値になる。

5. 5

   各余弦の値を角に直し、ふるいにかける。 それぞれの$c$は$[0,2\pi)$に2つの角を与える：$c=0.3369592$では$x=1.227111$または$5.056074$、$c=0.8941126$では$x=0.464351$または$5.818835$。もとの方程式に代入すると$\tfrac12$になるのは$x=1.227111$と$x=5.818835$だけである——残る2つは2乗によって持ち込まれた無縁根であり、符号を反転した式$c^2+c-1=+\sqrt3 sc$のほうを満たしている。

6. 6

   残った解を検証する。 $x=1.227111$では$\cos(1.407024)+\cos(1.227111) = 0.163041+0.336959 = 0.500000$。$x=5.818835$では$\cos(10.590472)+\cos(5.818835) = -0.394113+0.894113 = 0.500000$。どちらも表示した桁まで正しい。