すべての実数 x について sin(x) = −1/2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   大きさから基準角を求める。 符号をいったん無視すると、$\sin\theta=\tfrac12$ となるのは特別角

   $\theta=\frac{\pi}{6}=30^\circ$

   であり、これは $30$-$60$-$90$ の直角三角形から分かる。よって基準角は $\tfrac{\pi}{6}$ であり、電卓は要らない。

2. 2

   正弦が負になる象限を決める。 正弦は単位円上の $y$ 座標なので、負になるのは第 3 象限と第 4 象限（軸より下）である。象限が 2 つあるということは、1 回転あたり解が 2 つあるということである。

3. 3

   第 3 象限の解を作る。 $\pi$ から基準角ぶん先へ測る：

   $x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$

   ここで $\sin\tfrac{7\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓（座標は両方とも負である）。

4. 4

   第 4 象限の解を作る。 $2\pi$ から基準角ぶん戻して測る：

   $x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$

   ここでも $\sin\tfrac{11\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓。

5. 5

   周期ぶん延長する。 正弦の周期は $2\pi$ なので、すべての解はこの 2 つを整数回転ぶんずらしたもののいずれかである：

   $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{または}\qquad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   2 つの族はどちらも必要である：両者の差は $\tfrac{4\pi}{6}=\tfrac{2\pi}{3}$ で、$2\pi$ の整数倍ではない。（同じことだが、$x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k$ も第 4 象限の族を表す。）

6. 6

   いくつかの k で検証する。 両方の族を $k=-2,\,0,\,3$ で評価すると、6 つすべての場合で $\sin x=-0.500000$ となり ✓、周期と 2 つの分枝が確かめられる。