sin x = −√2/2 を満たす実数をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   大きさから参照角を求める。 ひとまず符号を無視すると、$\sin\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$ となるのは $\theta = \tfrac{\pi}{4}$（直角二等辺三角形の $45^{\circ}$ の角）である。したがって参照角は $\tfrac{\pi}{4}$ である。

2. 2

   符号から象限を決める。 サインは単位円上の $y$ 座標なので、$\sin x < 0$ ならば $x$ は第 3 象限または第 4 象限にある。1 周につきそのような角はちょうど 2 つあり、その両方を答えに含めなければならない。

3. 3

   2 つの基準角を書く。 第 3 象限では角は $\pi + \tfrac{\pi}{4}$、第 4 象限では $2\pi - \tfrac{\pi}{4}$ である：

   $x = \frac{5\pi}{4} \qquad \text{および} \qquad x = \frac{7\pi}{4}$

4. 4

   周期の分だけ拡張する。 サインの周期は $2\pi$ なので、それぞれの基準角に $2\pi n$ を加える：

   $\left\{x \;\middle|\; x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \ \text{ または } \ x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}\right\}$

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   2 つの族をどちらも検算する。 $\sin\tfrac{5\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓、$\sin\tfrac{7\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓。$\tfrac{4\pi}{3}$ や $\tfrac{5\pi}{3}$ を土台にした誤答の選択肢は、$\sin x = -\tfrac{\sqrt3}{2} \approx -0.866$ となり $-0.7071$ にならないので不適である。また $\tfrac{3\pi}{4}$ を土台にした集合も、この角は第 2 象限にありサインが正なので不適である。