次の各関数を偶関数、奇関数、どちらでもない、に分類せよ：f(x) = 4x³ − 3x² + 5、f(x) = −7x² + 1、y = cos(−x)、y = sin x / cos x、y = csc x、y = tan x / x。

Step-by-step solution

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   判定法を確認する。 $f(-x)=f(x)$ のとき $f$ は偶関数、$f(-x)=-f(x)$ のとき奇関数である。多項式には近道がある。偶数次だけなら偶関数、奇数次だけなら奇関数、混ざっていればどちらでもない。（定数は $x^0$、すなわち偶数次と数える。）

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   2 つの多項式を分類する。 $4x^{3}-3x^{2}+5$ には奇数次の $x^3$ と偶数次の $x^2$、$x^0$ が両方あるのでどちらでもない。$-7x^{2}+1$ はすべて偶数次なので偶関数である。

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   cos(−x) は分類する前に整理する。 コサインは偶関数なので $\cos(-x)=\cos x$ であり、この式は姿を変えたコサインそのものにすぎず、偶関数である。直接調べても、$x$ を $-x$ に置き換えると $\cos(x)$ となり、元の式に等しい。

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   sin x / cos x を分類する。 これは $\tan x$ である。$\sin(-x)=-\sin x$、$\cos(-x)=\cos x$ より

   $\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x,$

   となるので奇関数である。

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   csc x を分類する。 $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$ でありサインは奇関数なので

   $\csc(-x)=\frac{1}{-\sin x}=-\csc x,$

   となり奇関数である。奇関数の逆数は奇関数になる。

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   tan x / x を分類する。 タンジェントは奇関数、$x$ も奇関数であり、奇関数を奇関数で割ると偶関数になる：

   $\frac{\tan(-x)}{-x}=\frac{-\tan x}{-x}=\frac{\tan x}{x},$

   よって偶関数である。最終的な分類は——偶関数： $-7x^2+1$、$\cos(-x)$、$\tfrac{\tan x}{x}$、奇関数： $\tfrac{\sin x}{\cos x}$、$\csc x$、どちらでもない： $4x^3-3x^2+5$。