正誤を判定せよ：tan(π) = 0。理由も説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   角を読み替える。 $\pi$ラジアン$=180^{\circ}$なので、この問いは半周分の角の正接を求めるものである——単位円上では負の$x$軸上の点$(-1,0)$にあたる。

2. 2

   商の関係を使う。 定義により、

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},$

   なので$\tan\pi$の値はその点の座標だけで決まる。$\sin\pi$が$y$座標、$\cos\pi$が$x$座標である。

3. 3

   2つの座標を読み取る。 $\theta=\pi$では、

   $\sin(\pi)=0,\qquad \cos(\pi)=-1.$

   点がちょうど横軸上にあるので正弦は0であり、原点から左に1だけ離れているので余弦は$-1$である。

4. 4

   割り算し、分母が0でないことを確認する。 代入すると、

   $\tan(\pi)=\frac{0}{-1}=0.$

   この主張は正しい。分母が負でも答えが負になるわけではない——0を0でない数で割れば、符号のつかない0になる。

5. 5

   正接が破綻する場合と対比する。 正接が定義されないのはちょうど$\cos\theta=0$となるところ、すなわち$\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$であり、そこでは商が「0でない数÷0」になってしまう。一方零点は$\sin\theta=0$となるところ、すなわち$\theta=k\pi$である——だから$\tan0=\tan\pi=\tan2\pi=0$であり、$\tan$の周期は$2\pi$ではなく$\pi$なのである。