ある扇形の中心角は 1/3 ラジアン、面積は 2 平方フィートである。半径を小数第 3 位まで求めよ。

Step-by-step solution

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   扇形の面積の公式から出発し、r について解く。

   $A=\frac12 r^{2}\theta$

   の両辺を $2$ 倍して $\theta$ で割り、それから平方根をとる：

   $r^{2}=\frac{2A}{\theta},\qquad r=\sqrt{\frac{2A}{\theta}}$

   $A=\tfrac12 r^2\theta$ に数値を入れてから数と格闘するのではなく、先に式を変形しておけば、分数の割り算が 1 か所にまとまる。

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   与えられた値を代入する。

   $r^{2}=\frac{2(2)}{1/3}=4\times 3=12$

   $\tfrac13$ で割ることは $3$ を掛けることである。ここは因数 $9$ を落としやすい箇所である。

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   正の平方根をとる。 半径は正でなければならないので、

   $r=\sqrt{12}=2\sqrt3$

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   小数に直す。

   $r=2(1.7320508)=3.4641\approx 3.464\ \text{ft}$

   $\boxed{r=2\sqrt3\approx 3.464\ \text{ft}}$

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   面積を計算し直して検算する。 $A=\tfrac12(12)\left(\tfrac13\right)=6\times\tfrac13=2$ 平方フィート ✓。この公式では角がラジアンでなければならないことに注意する。$\tfrac13$ ラジアンは約 $19.1^{\circ}$ なので、扇形は細い形をしており、$2\ \text{ft}^2$ に達するにはそれなりに大きな半径が必要になる。