実数 x について 2sin(x) − 1 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   サインを孤立させる。 $1$ を加えて $2$ で割ると

   $2\sin x=1\qquad\Longrightarrow\qquad \sin x=\frac{1}{2}$

   となる。$\tfrac12$ は $[-1,1]$ に入っているので解は存在する。

2. 2

   第 1 象限の角を見つける。 $\tfrac12$ は特別な値である。$30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ の直角三角形から $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$ が分かるので、$x=\tfrac{\pi}{6}$ が 1 つの解になる。電卓は要らない。

3. 3

   同じ 1 周の中にある 2 つ目の解を見つける。 サインは第 1 象限と第 2 象限の どちらでも 正であり、$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ が成り立つ。したがって折り返した

   $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

   もまた解である。この分枝を見落とすのが、サインの方程式で最も多い誤りである。

4. 4

   周期ぶんだけ拡張する。 $\sin$ は $2\pi$ ごとに繰り返すので、解はすべて 2 つの基本角を整数周ぶんずらしたものになる。

   $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{または}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

5. 5

   2 つの族が 1 つにまとまらない理由。 $\tfrac{\pi}{6}$ から $\tfrac{5\pi}{6}$ までの隔たりは $\tfrac{2\pi}{3}$ であり、これは $2\pi$ の整数倍ではない。よって一方が他方を含むことはなく、両方が本当に必要である。

6. 6

   代入して確かめる。 $2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓、$2\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓。両方の族について $k=-2$ と $k=3$ を試しても、機械精度の範囲で $0$ が返る ✓。