tan 315° を厳密に求めよ。

Step-by-step solution

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   角の位置を特定し、符号を先に決める。 $315^\circ$ は $270^\circ$ と $360^\circ$ の間にあるので第 4 象限にあり、そこでは $x>0$、$y<0$ である。$\tan=\dfrac{\sin}{\cos}=\dfrac{y}{x}$ は負を正で割った形なので、$\tan315^\circ$ は負でなければならない。

2. 2

   参照角を求める。 最も近い横軸は $360^\circ$ である：

   $360^\circ-315^\circ=45^\circ$

   したがって参照角は $45^\circ$ であり、大きさは $\tan45^\circ$ のそれと一致する。

3. 3

   第 4 象限の公式を使う。 角を $360^\circ-\theta$ の形に書いたとき、

   $\tan\!\left(360^\circ-\theta\right)=-\tan\theta$

   が成り立つ（正接は周期 $180^\circ$ の奇関数なので、$\tan(-\theta)=-\tan\theta$ と言っても同じである）。$\theta=45^\circ$ とすれば：

   $\tan315^\circ=-\tan45^\circ$

4. 4

   特別な角の値を代入する。 $45$–$45$–$90$ の三角形は直角をはさむ 2 辺が等しいので $\tan45^\circ=1$ であり、

   $\tan315^\circ=-1$

   となる。

5. 5

   座標から検算する。 $315^\circ$ に対応する単位円上の点は $\left(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$ なので、

   $\tan315^\circ=\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=-1\ \checkmark$

   となる。数値でも $10^{-12}$ の精度で $-1$ である ✓。なお $315^\circ=\tfrac{7\pi}{4}$ ラジアンであり、正接の周期が $180^\circ$ であることから $\tan315^\circ=\tan135^\circ=-1$ でもある。