6 sin⁴x + sin²x − 6 = 0 のとき、2 sin x cos x の値を求めよ。

Step-by-step solution

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   三角方程式を 2 次方程式に変える。 現れるのは $\sin x$ の偶数乗だけなので、$u=\sin^{2}x$ とおく。すると $\sin^{4}x=u^{2}$ となり

   $6u^{2}+u-6=0$

   が得られる。求める $2\sin x\cos x=\sin 2x$ も、2 乗すれば $u$ で表せる量になるので、$x$ の個々の値は必要にならない。

2. 2

   2 次方程式を解き、あり得ない根を捨てる。

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{1+144}}{12}=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

   $u=\sin^{2}x$ は $0\le u\le 1$ を満たさなければならないので、負の根 $\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx-1.09$ は捨てる。残るのは

   $\sin^{2}x=\frac{\sqrt{145}-1}{12}\approx 0.92013$

   であり、これは $[0,1]$ の内側に十分収まっている ✓。

3. 3

   相互関係から $\cos^{2}x$ を求める。

   $\cos^{2}x=1-\frac{\sqrt{145}-1}{12}=\frac{13-\sqrt{145}}{12}\approx 0.07987$

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   目標を直接求めず、まず 2 乗する。 2 乗しておけば、$\sin x$ と $\cos x$ それぞれの符号を問う必要がなくなる：

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac{\sqrt{145}-1}{12}\cdot\frac{13-\sqrt{145}}{12}=\frac{\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)}{36}$

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   根号の積を展開する。

   $\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)=13\sqrt{145}-145-13+\sqrt{145}=14\sqrt{145}-158$

   したがって

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=\frac{14\sqrt{145}-158}{36}=\frac{7\sqrt{145}-79}{18}\approx 0.29395$

   となる。

6. 6

   平方根をとり、両方の符号を残す。

   $2\sin x\cos x=\sin 2x=\pm\sqrt{\frac{7\sqrt{145}-79}{18}}\approx\pm 0.5422$

   両方の符号が実際に起こる。もとの方程式が縛るのは $\sin^{2}x$ だけなので、$x$ は $\sin x$ と $\cos x$ が同符号の象限にも、異符号の象限にもあり得る。数値でも $\sin^{2}x=0.920133$ とすると $6(0.846645)+0.920133-6=0.000000$ ✓ となる。