arccos(−√3/2) の厳密な値を求めよ。

Step-by-step solution

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   arccos の値域を思い出す——ここがこの問題のすべてである。 $\arccos x$ は

   $\cos\theta=x\qquad\text{and}\qquad 0\le\theta\le\pi$

   を満たす唯一の角 $\theta$ を返す。値域が $[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ である $\arcsin$ と違い、$\arccos$ は負の角を返すことがない。したがって $\cos(-\tfrac{\pi}{6})=+\tfrac{\sqrt3}{2}$ ではあっても、ここで $-\tfrac{\pi}{6}$ は正しい答えにならない。

2. 2

   大きさから参照角を求める。 符号を無視すれば $\tfrac{\sqrt3}{2}$ は特別値である：

   $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\ \Longrightarrow\ \text{参照角}=\frac{\pi}{6}\ (30^{\circ})$

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   角を正しい象限に置く。 余弦が負になるのは $(\tfrac{\pi}{2},\pi)$ ——第 2 象限——であり、arccos の値域の中で出力値が負になり得るのはここだけである。参照角が $\tfrac{\pi}{6}$ である第 2 象限の角は

   $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

   である。

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   値域の条件を確認する。 $\tfrac{5\pi}{6}=150^{\circ}$ は $0\le\tfrac{5\pi}{6}\le\pi$ を満たす ✓。したがってこれが主値である。

5. 5

   余弦を取り直して検算する。

   $\cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$

   数値では $\cos(2.617994)=-0.8660254$、$-\tfrac{\sqrt3}{2}=-0.8660254$ ✓。