sin 225° の厳密な値を求めよ。

Step-by-step solution

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   角がどの象限にあるかを特定する。 $180^\circ<225^\circ<270^\circ$ なので、動径は第 3 象限にある。そこでは正弦も余弦も負である（正になるのは正接だけ）。したがって答えにはマイナスが付かなければならない。

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   参照角を求める。 第 3 象限の角では、参照角は負の $x$ 軸まで戻して測った角である：

   $225^\circ-180^\circ=45^\circ$

   参照角が $45^\circ$ ということは、値が厳密な特別値のひとつになるということであり、電卓は要らない。

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   特別値を思い出す。 直角をはさむ 2 辺が $1,1$、斜辺が $\sqrt2$ の $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ の三角形から：

   $\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$

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   象限による符号を付ける。 大きさは参照角から、符号は象限から決まる：

   $\sin225^\circ=-\sin45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$

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   単位円の座標で照合する。 $225^\circ$ に対応する点は $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$ であり、正弦は $y$ 座標——求めたとおり負である ✓。数値では $-\tfrac{\sqrt2}{2}=-0.70711$ であり、$\sin(225^\circ)$ を直接計算すると $-0.7071068$ となって小数第 7 位まで一致する ✓。

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   関連する値にも触れておく。 同じ参照角から $\cos225^\circ=-\tfrac{\sqrt2}{2}$、$\tan225^\circ=+1$ となる。比を作ると 2 つの負号が打ち消し合うので、第 3 象限で正接が正になるのである。