0 から 2π の区間で sin2x = √3/2 を満たす x を求めよ。

Step-by-step solution

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   区間が 2 倍角に何をするかを押さえる。 $x$ が $[0, 2\pi]$ を動くとき $2x$ は $[0, 4\pi]$ を動く——2 周ぶんである。だからこの方程式の解は $\sin x = \tfrac{\sqrt3}{2}$ の場合の 2 倍あり、これを忘れるのが答えを半分失う定番の経路である。

2. 2

   2 倍角について一般形で解く。 $\sin\theta = \tfrac{\sqrt3}{2}$ の基準角は $\tfrac{\pi}{3}$ で、解は第 1 象限と第 2 象限にある：

   $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{または} \qquad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

3. 3

   半分にして x の一般解を得る。 各項を $2$ で割ると、周期 $2\pi$ が $\pi$ になる：

   $x = \frac{\pi}{6} + \pi k \qquad \text{または} \qquad x = \frac{\pi}{3} + \pi k$

   周期が半分の $\pi$ になることが、長さ $2\pi$ の区間で 2 つの族が 4 つの解になる代数的な理由である。

4. 4

   [0, 2π] に入る値を選ぶ。 第 1 の族からは、$k=0$ で $\tfrac{\pi}{6}$、$k=1$ で $\tfrac{7\pi}{6}$、$k=2$ では $\tfrac{13\pi}{6} \approx 6.807 > 2\pi \approx 6.283$ となり範囲外である。第 2 の族からは、$k=0$ で $\tfrac{\pi}{3}$、$k=1$ で $\tfrac{4\pi}{3}$、$k=2$ では $\tfrac{7\pi}{3}$ となりこれも範囲外。負の $k$ は負の角を与える。

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   4 つの解を挙げて検証する。

   $x = \frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{4\pi}{3}$

   それぞれ 2 倍すると $2x = \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{2\pi}{3},\ \tfrac{7\pi}{3},\ \tfrac{8\pi}{3}$ となり、それぞれの $\sin$ は小数第 15 位まで $\tfrac{\sqrt3}{2} \approx 0.8660254$ に等しい。組 $\left(\tfrac{\pi}{6}, \tfrac{\pi}{3}\right)$ と $\left(\tfrac{7\pi}{6}, \tfrac{4\pi}{3}\right)$ が、$\sin 2x$ の山である $\tfrac{\pi}{4}$ と $\tfrac{5\pi}{4}$ に関して対称になっている点にも注意する。