三角形の角 α = 36 度、角 γ = 50 度で、その間の辺 b = 78.2 である。三角形の面積を小数第1位まで求めよ。

Step-by-step solution

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   まず3つ目の角を求める。これがなければ何も始まらない。 三角形の内角の和は $180^\circ$ である：

   $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-36^\circ-50^\circ=94^\circ$

   $\beta$ が鈍角なので、$\beta$ に対する辺 $b$ が三角形で最も長い辺である。この後の数値を確かめるのに役立つ。

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   配置を確認する：既知の辺が既知の2角の間にある（ASA）。 標準の記号では辺 $b$ は角 $\beta$ の対辺なので、$\alpha$ と $\gamma$ が分かっていれば $b$ は夾辺である。これですべての角と1つの長さが決まり、三角形は一意に定まる。SSA の問題で起こる二通りの解の心配は不要である。

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   正弦定理から面積の公式を導く。 面積は $K=\tfrac12ac\sin\beta$ で、正弦定理により未知の2辺は $b$ で表せる：

   $a=\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta},\qquad c=\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}$

   代入すると、

   $K=\frac12\cdot\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}\cdot\sin\beta=\frac{b^2\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin\beta}$

   この1つの式で済ませれば、途中の辺の長さを丸めずに済む。2段階で解く方法が小数第1位を落としがちなのは、まさにそこである。

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   値を代入する。 $b^2=78.2^2=6115.24$ で、小数第7位まで取ると

   $\sin36^\circ=0.5877853,\quad \sin50^\circ=0.7660444,\quad \sin94^\circ=0.9975641$

   なので、分子と分母はそれぞれ

   $6115.24\times0.5877853\times0.7660444=2753.5068,\qquad 2\times0.9975641=1.9951281$

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   割って丸める。

   $K=\frac{2753.5068}{1.9951281}=1380.1153\ldots\approx1380.1$

   小数点以下の桁に注意したい。丸める前の値は $1380.115$ なので、切り下げて $1380.1$ になる。正弦を小数第4位までしか取らないと $1380.2$ となり、丸めた答えを誤ってしまう。

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   まったく別の方法で検算する。 辺を求めると $a=b\sin\alpha/\sin\beta=46.0770$、$c=b\sin\gamma/\sin\beta=60.0510$ である。すると $K=\tfrac12ac\sin94^\circ=1380.1153$ となり、$s=\tfrac{a+b+c}{2}=92.1640$ としたヘロンの公式でも $1380.1153$ が返る。独立した3つの道筋が小数第4位まで一致するので、答えは確定である。