丘の頂上から地上の点 A を見下ろす俯角は 30 度である。まっすぐな斜面を 4 分の 3 だけ下ったところで A の俯角は 15 度になる。斜面が水平面となす角を θ とするとき、tan θ を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   座標を設定し、斜面の長さを 1 に正規化する。 求めるのは角なので比だけが問題であり、斜面全体の長さを $L=1$ としてよい。すると頂上 $B$ は地面から高さ

   $h=\sin\theta$

   のところにあり、斜面に沿って距離 $s$ だけ下ると高さが $s\sin\theta$ 下がり、水平方向には $A$ に向かって $s\cos\theta$ だけ近づく。

2. 2

   1 回目の観測で水平距離を決める。 $B$ から $A$ までの水平距離を $d$ とする。$B$ での俯角が $30^{\circ}$ なので

   $\tan 30^{\circ}=\frac{h}{d}=\frac{\sin\theta}{d}\quad\Longrightarrow\quad d=\sqrt3\,\sin\theta$

   となる。

3. 3

   2 回目の観測を式にする。 斜面を $\tfrac34$ 下った後、観測者の高さは $\sin\theta-\tfrac34\sin\theta=\tfrac14\sin\theta$ であり、$A$ までの水平距離は $d-\tfrac34\cos\theta$ である。したがって

   $\tan 15^{\circ}=\frac{\tfrac14\sin\theta}{\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta}$

   となる。未知数 $d$ が消え、$\theta$ だけの方程式が 1 本残った。

4. 4

   tan θ について解く。 たすきがけして $\sin\theta$ の項をまとめる。

   $\tan 15^{\circ}\left(\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta\right)=\tfrac14\sin\theta$

   $\sin\theta\left(\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14\right)=\tfrac34\tan 15^{\circ}\cos\theta$

   $\tan\theta=\frac{\tfrac34\tan 15^{\circ}}{\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14}$

5. 5

   tan 15° の厳密値を代入する。 $\tan 15^{\circ}=2-\sqrt3$ なので

   $\tan\theta=\frac{3(2-\sqrt3)}{4\sqrt3(2-\sqrt3)-1}=\frac{3(2-\sqrt3)}{8\sqrt3-12-1}=\frac{6-3\sqrt3}{8\sqrt3-13}$

   となる。

6. 6

   分母を有理化する。 分子と分母に $8\sqrt3+13$ を掛けると分母は $(8\sqrt3)^{2}-13^{2}=192-169=23$ になり、分子は

   $(6-3\sqrt3)(8\sqrt3+13)=48\sqrt3+78-72-39\sqrt3=9\sqrt3+6$

   $\boxed{\tan\theta=\frac{6+9\sqrt3}{23}\approx 0.9386}$

   となる。

7. 7

   答えの整合性を確かめる。 数値では $\theta=\arctan(0.9386)=43.19^{\circ}$ である。設定上、$A$ は斜面のふもとより向こうになければならず、すなわち $d=\sqrt3\sin\theta>\cos\theta$、つまり $\tan\theta>\tfrac{1}{\sqrt3}$、すなわち $\theta>30^{\circ}$ が必要だが、これは満たされている ✓。代入して確かめると、$\theta=43.19^{\circ}$ のとき $d=\sqrt3(0.6845)=1.1854$ であり、2 回目の観測からは $\arctan\!\left(\tfrac{0.1711}{1.1854-0.5468}\right)=\arctan(0.2679)=15.00^{\circ}$ が得られる ✓。